DM sur les complexes

[Mister Gauss]

Bonjour, voilà j'ai un DM sur les complexes mais je rencontre qques difficultés...
Voici l'énoncé simplifié:

On a un repère Orthonormal direct avec le pt A d'affixe 4 et la droite D d'équation X=4 privé du pt A.
Soit M(z); on associe M'(z') tq z'= (z-4)/(4-z barre)

1)
a. Soit B(1+3i) ; Calculer l'affixe de B' puis placer ces 2 pts.
b.Soit X différent de 4. On note R(x) ; calculer affixe de R' associé à R puis placer ces 2 pts.
c. Soit Y réel non nul. On note S(4+iy). Meme questions que précédemment.
d. Mq z'=1 ssi M appartient à D

2) Soit M n'appartenant pas à D et différent de A. on veut trouver une méthode de construction pr placer M' connaissant M

a.Démontrer que, pr tt Z différent de 4, |z'|= 1
b.Mq pr tt Z différent de 4 , (z'-1)/(z-4) est REEL
Mq (S'M') est définie et parallèle à (AM)
c. Déduire des questions 2)a. et 2)b. une construction de M' associé à M
Appliquer cette méthode pr construire C' associé à C

Mes réponses

1)
a. B'(i)
b. R'(-1)
c. S'(1)
d. z'=1 ssi (z-4)/(4-z barre)=1
ssi z-4 = 4- z barre
ssi z = 8- z barre avec Z = x + iy
ssi x+iy = 8 - x + iy
ssi x = 4
Ainsi Z = 4 + iy pr Y non nul car Z différent de 4
Donc M appartient à D

2)
a. (...)
b. (...)
c. ???

Mes problèmes :

Voilà en fait je n'arrive pas la question c) du 2). De plus, faut il faire la réciproque pr la question d) du 1) ???

Je vous remercie d'avance pour votre aide !

[Sa Majesté]

Salut
As-tu réussi 2a et 2b d'abord ?

[Mister Gauss]

Oui, enfin je pense que j'ai réussi. Je n 'ai pas écrit ma réponse car le détail des calculs est assez pénible à écrire...

[Sa Majesté]

C'est parce que tu t'y es mal pris
Ça se fait en 2 lignes
Pour le a, il suffit de remarquer que et utiliser les propriétés des modules

Du coup

[Mister Gauss]

Oh non je me suis cassé la tête à remplacer z par x + iy donc c'est pour ça que mon développement était assez long et pénible... Merci pour cette remarque !
Par contre pour la question b) j'ai encore une fois remplacé z par sa forme algébrique, est ce inutile ??

[Sa Majesté]

Oui c'est inutile
Calcule en remplaçant z' par son expression en fonction de z et réduis tout au même dénominateur
Qu'obtiens-tu ?

[Mister Gauss]

J'obtiens
Excusez moi pour la notation "Z barre" car je ne sais pas comment l'écrire autrement...

[Sa Majesté]

J'obtiens

OK

Le numérateur est clairement réel puisque

Le dénominateur est également réel puisque

Excusez moi pour la notation "Z barre" car je ne sais pas comment l'écrire autrement...

Il faut écrire \bar{z} :lol3:

[Mister Gauss]

Ok merci pour cette aide :happy2:
Et avez-vous une idée pour la question c) du 2) ? je ne sais pas comment faire...

[Sa Majesté]

Pour montrer que (S'M') est définie il faut montrer que M' ne peut jamais être égal à S' (sinon la droite (S'M') n'existe pas)

[Mister Gauss]

En effet, c'est ce que j'ai réussi à montrer. La seule question que je n'arrive pas c'est la C) c'est à dire construire le point M' associé à M. Alors si quelqu'un peut m'aider ça serait cool car je ne comprend vraiment pas comment construire ce point ... :triste:

[Sa Majesté]

C'est pas compliqué, regarde
Soit M un point du plan différent de A
Soit M'(z') l'image de M

La question 2a te dit que |z'|=1, donc à quel ensemble M' appartient-il ?
La question 2b te dit que (S'M') est parallèle à (AM), donc à quel ensemble M' appartient-il ?

[Mister Gauss]

Ah je crois comprendre:
J'en déduis, d'après la question 2a, que M' appartient au cercle de centre S' et de rayon 1.
D'après la question 2b, M' appartient à la droite (S'M')
Donc M' est le point d'intersection de la droite et du cercle.

Toutefois, on ne peut pas placer le point M car on ne connait pas ses coordonnées. Donc on ne peut pas tracer la droite (AM) et par conséquent ni (S'M'), n'ai-je pas raison ??

[Sa Majesté]

Ah je crois comprendre:
J'en déduis, d'après la question 2a, que M' appartient au cercle de centre S' et de rayon 1.

Presque : le centre n'est pas S'

D'après la question 2b, M' appartient à la droite (S'M')
Donc M' est le point d'intersection de la droite et du cercle.

Oui

Toutefois, on ne peut pas placer le point M car on ne connait pas ses coordonnées. Donc on ne peut pas tracer la droite (AM) et par conséquent ni (S'M'), n'ai-je pas raison ??

Non
La construction doit être valable quel que soit le point M
Une fois que tu auras trouvé la construction (tu y es presque), tu pourras vérifier en prenant M=B pour voir si tu retrouves bien B' (question 1a), puis un point M sur l'axe des réels (question 1b), puis un point M sur la droite D (question 1c)

[Mister Gauss]

Ok ok, je vais chercher ça pour demain car d'autres devoirs m'appellent...
En tout cas, merci beaucoup jusqu'à présent pour ces éclaircissements. Je pense trouver la réponse demain :we:

[Sa Majesté]

Suite au prochain numéro alors :lol3:

[Mister Gauss]

ça y est, j'ai trouvé !!
Le point M' appartient au cercle trigonométrique ( de centre O)
On prend un point M quelconque, on trace la droite (AM) puis sa parallèle passant par S' et on place le point M' tel qu'il soit le point d'intersection entre la droite D et le cercle.

Je vous remercie pour cette aide !!! :happy2:

[Sa Majesté]

Oui c'est ça :zen:
Tu peux remarquer que comme le point S' appartient au cercle trigonométrique, toute droite non parallèle à l'axe des ordonnées et qui passe par S', coupe le cercle en un point unique