Exercice sur minimale

par **JFbello62** » 30 Déc 2010, 15:30

Bonjour !

On nous donne f(x) = (2x-1)/(x+1)

A(0;2) et M appartient à la courble Cf.

La question est : déterminer la position du point M tel que la longueur AM est minimale.

C'est le deuxième exercice de mon Dm et je ne vois pas comment faire si ce n'est pas représentation graphique et je ne pense pas que ce soit ça ...

Help svp :help:

par **Mortelune** » 30 Déc 2010, 16:19

Bonjour, tu as vu la dérivation ?

par **JFbello62** » 30 Déc 2010, 17:34

J'ai vu la dérivation et comment avec la dérivée traduire un tableau de signe puis de variations ....

par **Mortelune** » 30 Déc 2010, 18:05

Donc tu as vu que quand la dérivée était nulle on avait un minimum ou un maximum pour la fonction ?

par **JFbello62** » 30 Déc 2010, 18:22

Par contre ça ça me dit rien =/

Que voulez vous dire par : la dérivé est nulle ?

par **Mortelune** » 30 Déc 2010, 18:34

Si on note f' la dérivée de f alors la dérivée est nulle en x quand f'(x)=0.

J'ajoute qu'il faut aussi qu'il y ait un changement de signe pour avoir un minimum ou un maximum.

Si tu ne l'a pas vu en cours c'est dommage parce que je ne vois pas d'autre méthode de résolution.

edit : j'avais lu en diagonale, c'est la longueur AM qu'il faudra dériver.

par **JFbello62** » 30 Déc 2010, 18:36

Je ne vois comment mettre en relation la longueur AM et la fonction f ...

edit : Mais comment trouver l'équation de AM, pour ensuite la dériver et essayer de trouver la dérivée ?

par **Mortelune** » 30 Déc 2010, 18:41

Première chose à faire trouver les coordonnées générales (ça veut seulement dire qu'il faut du x dedans) d'un point qui est sur la courbe représentative de f, ça donne quoi ?

par **JFbello62** » 30 Déc 2010, 18:43

J'ai :
A (0;2)
M (x; (2x-1)/(x+1) )

par **Mortelune** » 30 Déc 2010, 18:53

Oui donc il ne reste plus qu'à exprimer la distance entre A et M.
On peut noter que la distance AM est la norme du vecteur AM.
On peut aussi voir qu'une distance est toujours positive donc étudier les variations de la distance ou de la distance au carré revient au même sauf que la distance au carré se manipule beaucoup mieux.

Donc maintenant le mieux est d'exprimer AM² en fonction de x.

par **JFbello62** » 30 Déc 2010, 19:01

Je trouve que le carré de la norme du vecteur AM = x²+ 1/(x+1)²

par **Mortelune** » 30 Déc 2010, 19:03

Tu est sûr du 1 au numérateur ? Je trouve un 9.

par **JFbello62** » 30 Déc 2010, 19:20

Pour le vecteur AM je trouve (x / 1/x+1)
en faisant xm-xa et ym - ya

Après j'applique la formule pour calculer la norme d'un vecteur : racine de (x²-y²)
comme je met la norme au carré je retire la racine ce qui me donne x² + 1/(x+1)²

Je ne trouve pas mon erreur ... Pouvez vous m'expliquer ?

par **Mortelune** » 30 Déc 2010, 19:31

On en déduit

Or

Donc

par **JFbello62** » 30 Déc 2010, 19:33

Merci ! J'ai trouvé mon erreur .... une simple faute de signe :mur:

Pour la suite que faire ? on dérive cette équation ?

par **Mortelune** » 30 Déc 2010, 19:36

En suite on a donc en ajoutant quelques notations :

On cherche à trouver le minimum pour g(x), il va donc bien falloir dériver tout ça.

par **JFbello62** » 30 Déc 2010, 20:05

C'est ce que j'ai fait et je trouve un résultat .... bizare donc je préfère savoir si je me suis planté avant de continuer : :soupir2:

Je trouve : 2x puissance 5 + 4x au cube + 2x -18x -18 le tout / (x²+2x+1)²

par **Mortelune** » 30 Déc 2010, 20:18

Dérivons g, avec les formules habituelles ont obtient :

La puissance paire du dénominateur est intéressante, comme on devra étudier le signe de

un dénominateur toujours positif c'est toujours ça de pris, tu l'as un peu développé, ce n'était pas vraiment nécessaire.

On passe tout au même dénominateur :

En développant le numérateur on trouve :

ça s'annule 3 fois dont une fois en -1, valeur interdite à cause du dénominateur.

Edit : par contre les 2 autres fois c'est pas des racines faciles à calculer, c'est bizarre :mur:

par **JFbello62** » 30 Déc 2010, 20:29

Assez étonnant aussi : On a jamais appris à développer à la puissance 4 comme vous l'avez fait :hum:

Et je ne comprend pas vos histoire d'annulations ? :hein:

par **Mortelune** » 30 Déc 2010, 20:35

Pour le développement : c'est normal moi non plus au lycée je ne l'avais pas appris fin c'était pour gagner du temps (si ça t'intéresse cherche binôme de Newton).

Pour les annulations (donc quand le numérateur de g'(x)=0) : j'ai regardé sur un logiciel de géométrie, j'ai pas les solutions de tête ^^

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