DM: Fonction exponentielle

[dmdemath]

Bonjour,

je n'arrive pas du tout a comprendre cette exercice de mon dm.

Voici l'enoncé :

f est la fonction définie sur R par f(x) = (x² +x + 1)e^x
On note f(1), f(2),...f(n) ses dérivées successives.On dit que que f(n) est la dérivée "n-ième" de f.De meme, f(1) est la derivée notée habituellement f'.

1/A/ Calculez f(1)(x).
b/ Démontrez par recurrence que f(n)(x) s'ecrit sous la forme (x² +anx +bn)e^x où an et bn sont des entiers naturels.

2/a/ On considere les suites (an) et (bn) definies sur N* par :
a1 =3 et an+1 =an+2
b1 = 2 et bn+1 = bn +an

verifiez que la suite (an) est une suite arthmétique et deduisez en an en fonction de n.

[Nightmare]

Salut,

qu'est-ce que tu ne comprends pas?

f' c'est la dérivée de f, f^(2) c'est la dérivée de f', f^(3) la dérivée de f^(2) etc..

Donc 1/A on te demande simplement de calculer la dérivée de la fonction d'origine (f : x->(x²+x+1)e^x. Ca tu devrais savoir faire, il suffit d'appliquer les formules.

b) Tout est dit, on te demande de faire une récurrence. Est-ce que c'est vrai pour n=1 ? Est-ce que si c'est vrai pour n alors c'est vrai pour n+1 ?

2/a/ Là c'est encore du cours, qu'est-ce qu'une suite arithmétique?

[dmdemath]

Oui , mais la derivée de e^x c quoi ? je ne le sais pas, je n'ai pas le cours...

[dmdemath]

Juste pour savoir si ce que j'ai fait est bon ;

La derviée c (x² + 3x + 2)e^x ??

[Black Jack]

Juste pour savoir si ce que j'ai fait est bon ;

La derviée c (x² + 3x + 2)e^x ??

Non

f(x) = (x² +x + 1).e^x
f(x) = u(x) * v(x) avec u(x) = x²+x+1 et v(x) = e^x

f1(x) = u'(x).v(x) + u(x).v'(x)

Or u'(x) = ... et v'(x) = ...
Et donc f1(x) = ...

:zen:

[Nightmare]

Si c'est correct, la dérivée est bien x->(x²+3x+2)exp(x).

[dmdemath]

Merci :)

Pour la question b par recurrence je ne vois pas l'hypothese de recurrence, donc je n'y arrive pas !

[Nightmare]

Bah, l'hypothèse de récurrence, c'est que "f(n)(x) s'écrit sous la forme (x² +anx +bn)e^x où an et bn sont des entiers naturels."

[dmdemath]

et comment je fais pour demontrer cela ? :S par recurrence je ne voi pas !