Fonctions dans la géométrie

[pixies]

Bonjour à tous !

J'ai une petite difficulté sur un exercice, et j'aimerais avoir un peu d'aide.

ABCD est un trapèze rectangle de base AD= 6 cm , CB= 2 cm de hauteur AB= 4 cm. H est le projeté orthogonal de C sur [AD]. Un point M décrit le segment [AB] et on pose AM= x .
La parallèle à (AD) passant par M coupe [CD] en N et la parallèle à (AB) passant par N coupe [AD] en P.

1) a) Démontrer que le triangle CHD est un triangle rectangle isocèle.

Ici, je sais qu'il faut utiliser " H est le projeté orthogonal de C .. " mais je ne sais pas comment rédiger, et depuis je suis bloquée à cette question .

b) Démontrer que AMNP est un rectangle et NPD un triangle rectangle isocèle.

2) On appelle f(x) l'aire du rectangle AMNP lorsque x décrit l'intervelle [0;4].

a) Montrer que f(x)= x(6-x) et vérifier que f(x)= 9-(x-3)²
b) Compléter le tableau suivant :

Longueur AM= x 0 1 2 2,5 3 4
Aire de AMNP, f(x) . . . . . .


Merci d'avance !

[pixies]

Bien sur, j'ai déjà commencer à trouver les solutions,
mais je ne sais pas comment organiser ma réponse avec les informations que je possède déjà ...

[Lostounet]

Salut,

Voici une figure!



Pour démontrer que CHD est rectangle isocèle, qu'as-tu trouvé?

On pourrait effectivement parler du projeté orthogonal (donc l'angle H est droit), tu pourrais aussi utiliser les distances entre C et (AD) par exemple (en effet, deux parallèles ont une distance constante qui les sépare) afin de prouver que CH = BA = 4

Tu pourrais aussi utiliser le parallélogramme BCHA pour avoir AH = BC et en déduire ton HD = AD - AH
Voilà... Il y a plusieurs possibilités.

[pixies]

La figure est géniale et exactement comme je l'ai faite !

Je pense utiliser le projeté de C pour démontrer qu'il est rectangle,
Puis ce que tu m'as dit pour démontrer qu'il est isocèle !
Merci beaucoup !

Maintenant en raisonnant un peu plus, j'ai trouver le début du 2) a) mais maintenant je n'arrive pas à démontrer que f(x)= 9-(x-3)² .
Comment ferais - tu ?


Encore merci !

[pixies]

J'ai trouver, je devais developper f(x)= 9-(x-3)²
et on doit trouver la forme developper de f(x)= x(6-x) .
Normalement ! :lol3:

[Lostounet]

Si tu arrives à montrer que f(x) = x(6 - x), alors le reste est très simple!

On a:
9 - (x - 3)²
= 3² - (x - 3)²

On repère une identité remarquable a² - b² = (a + b)(a - b)
Je te laisse continuer pour conclure que f(x) = 9 - (x - 3)².

Modif: Tout à fait, tu peux aussi développer les deux !

[pixies]

Merci !


Maintenant ça se corse un peu plus ..

4) Répondre aux questions suivantes en choisissant pour f(x) l'expression la mieux adapté.
a) Démontrer que f(x) inférieure ou égale à 9.
Peut-on affirmer cette fois que l'aire du rectangle est maximale lorsque x= 3 ?
Quelle est la nature de AMNP lorsque x= 3 ?

J'ai une piste mais je ne sais pas si c'est le bon moyen : en utilistant les inéquations en se servant des intervalles ( [0;4] ) et en intégrant un par un les chiffres.
Et pour la suite, blocage ...

[pixies]

Et désolé, je n'ai pas vu ta réponse plus tot ...