Diagonalisation de matrice

[megara84]

Bonjour

Je suis en deuxieme année de prépa eco

On me dit soit a un réel et on me donne la matrice Ma:

(a 1 0
1 0 -1
0 -1 0)

(On peut remarquer qu'elle est symétrique donc diagonalisable)

On me demande de trouver un polynôme Pa du 3eme degré tel que : x appartient à Sp ( Ma) corresponde à Pa (x) = 0 ( j'ai remplacé lambda par x dans l'énoncé )

C'est la définition du polynome annulateur, ça m'a pas bien l'air très compliqué mais le problème c'est que pour l'instant le prof nous a seulement donné la définition et vu que je n'ai pas l'esprit très intuitif en math jmen sort pas... J'ai calculé Ma^2 et Ma^3 et jsuis en train dme casser la tête pour trouver des coefficients qui annulent les 3 matrices mais je finis par me demander si je suis sur la bonne piste :mur:

Est ce que quelqu'un peut me donner une méthode ?

Merci

[Nightmare]

Salut,

n'as-tu pas vu le théorème de Cayley-Hamilton ? (Le polynôme caractéristique d'une matrice l'annule ?)

Sinon, on peut toujours s'en sortir en faisant des calculs : On pose Pa = X^3+aX+c et on cherche a et c pour que M annule Pa

[megara84]

Non jamais entendu parler...

Je continue avec ta méthode

[Nightmare]

En fait, pour avoir lu l'énoncé un peu en diagonale, je me rends compte que je ne réponds pas au bon exercice.

En fait, il s'agit de trouver un polynôme qui s'annule en toutes les valeurs propres. Tu sais qu'une valeur propre x est telle qu'il existe un vecteur X tel que MX=lX. Autrement dit, la matrice M-x Id n'est pas inversible, donc de déterminant nul. Essaye donc de calculer det(M-xId) quel que soit x.

[megara84]

Ah mince parce que j'ai fait ta méthode et je trouve que le polynome x^3+ (a+2)x +a est annulateur.

J'ai déjà fait M-xI le soucis c'est que ca me fait faire d'emblé des suppositions sur a et x et quand je trouve la matrice triangulaire ca me donne quelque chose de pas tres sympathique ...

[Nightmare]

Pourquoi des suppositions sur a et x? a est quelconque et x indéterminé (puisqu'on veut un polynôme)

[megara84]

ok merci je trouve en 3eme ligne, 3eme colonne x^3-ax^2-2x+a c'est donc ma réponse ?