Reduction

[LaBoule13]

Bonsoir,

Soit B appartenant aux matrices carrées, avec B^3 = B + In

Je dois montrer que det(B) est différent de 0. J'ai procédé par l'absurde, si det(B) = 0 alors det(B^3) = 1 mais je ne vois pas l'argument qui contredirait cette affirmation.

Je dois ensuite montrer que B est diagonalisable sur R si et seulement si B est une matrice scalaire. Je ne vois pas du tout par où commencer.

Merci de m'apporter un peu d'aide. =)

[Nightmare]

Salut,

pourquoi aurait-on det(B^3)= 1 ? Je rappelle que det(A+B) n'est généralement pas égal à det(A)+det(B) !

Je ferais ainsi : Il suffit de montrer que B n'a pas de valeur propre nulle, donc que 0 n'est pas racine du polynôme minimal. Or le polynôme minimal divise tout polynôme annulateur ...

Edit : Beaucoup moins bourrin : B^3-B=B(B²-I) et si det(B) étai nul, det(B^3-B) aussi mais comme B^3-B=I ...

[LaBoule13]

Qu'appelez vous polynôme minimal ?

[Doraki]

Si det B = 0, ça implique qu'il existe un vecteur x non nul tel que Bx = 0.

[Nightmare]

Si tu ne connais pas le polynôme minimal, tiens-t'en à ma preuve en édit, ou à celle commencée par Doraki (qui est la même)

[LaBoule13]

Je ne sais pas encore ce qu'est ce polynome, je suis en pleins dans ce cours.. En tout cas merci Nightmare et Doraki..

Pour la diagonalisation, j'ai posé P(X)=X^3 -X -1, un polynome annulateur.. J'ai résolu P(X) = 0 et on trouve une unique racine réelle, suis je sur la bonne voix pour montrer que B est diagonalisable ssi B est une matrice scalaire ?

[LaBoule13]

Un peu d'aide serait la bienvenue, je n'arrive toujours pas à aboutir.. merci