Fonction exponentielle

[tanouch]

Soit la fonction f définie sur R par:
f(x)= (x-e)e^(-x)+1-x.
On note (C) sa courbe représentative dans un repère (O,I,J) du plan.
a)Déterminer la limite de f en +infini, puis en -infinie. Justifier.
b)Calculer f'(x) et montrer que , pour tout réel x, f'(x) peut s'écrire : f'(x)= e^(-x)h(x) où h est une fonction que l'on précisera.
c) 1. Etudier suivant les valeurs de x le signe de e-e^(x).
2. En déduire que:
-si x >1, alors 1-x+e-e^(x) < 0.
-si x <1, alors 1-x+e-e^(x) > 0.
3. Etablir le tableau de variation de f et en déduire que f(x) est toujours négatif.
d) Montrer que la droite (D) d'équation y= -x+1 est asymptote à la courbe C.
Etudier la position relative de C et de (D).
Démontrer qu'il existe un unique point A de C, dont on calculera les coordonnées, tel que la tangente en A à C soit parallèle à la droite (D).

[Euler07]

Très joli énoncé... Et ?

[tanouch]

bah je galère a pas mal de questions, déjà pour les justifications de la 1, parce que la réponse simple suffit pas sino ce serait trop facile, j'ai trouvé deux fois -inifinie pour la question 1.
Sinon à la 2, déjà j'ai galéré à trouver la fonction dérivée, mais pour trouver que f'(x) = e^(-x)h(x) je vois pas comment je peux trouver ça.
Et pour le reste je suis totalement perdu

[Arnaud-29-31]

Salut,

Très joli énoncé en effet ... si c'est de l'aide que tu recherches, je ne penses pas que ce soit la meilleur manière de rédiger ton post ...
Enfin bon on doit bien trouver pour les deux limites, mais c'est à rédiger proprement en s'appuyant sur le théorème des croissance comparées.
Pour la 2, y'a pas de secret, faut se prendre par la main et dériver.

[Euler07]

[tanouch]

j'ai noté que lim f(x) quand x tend vers + infini = - infini
car limite de e^(-x) = 0, limite de (x-e) = + infini, donc les deux facteur forment une limite nul
et limite -x = - inifini,
comme on a 0 et - inifini , ça donne - inifini

J'ai noté que lim f(x) quand x tend vers - infini = - infini
car limite de e^(-x) = +infini et limte de (x-e) = - inifinie, donc les deux en facteur donnent - inifini et que limite de -x donne + infini, et c mes justification.

Pour les dérivé, j'ai trouvéf'(x) = (-x+e+1) e^(-x) +1, si il n'y avait pas le (+1) à la fin j'aurais pu trouver facilement la fonction h(x) mais le +(1) me gêne, je sais pas comment fait pour l'integré a la relation

[Euler07]

Non tout va bien, t'as bien trouvé ce qu'il fallait

[tanouch]

J'ai noté que f'(x) = e^(-x) (-x+e+1-e^(x))
car e^(-x)*-e^(x) = 1, j'ai mon 1 qui me perturbais avant, comme par hasard ça à la même forme que l'étude de signe à la question c)2.
je sais j'ai réussi a avancer jusque la tout seul, mais pour la suite ça va être plus dure

[tanouch]

pour mes justification à la question a) je suis vraiment pas sur que ça va passer comme ça

[Euler07]

Salut,

Très joli énoncé en effet ... si c'est de l'aide que tu recherches, je ne penses pas que ce soit la meilleur manière de rédiger ton post ...
Enfin bon on doit bien trouver pour les deux limites, mais c'est à rédiger proprement en s'appuyant sur le théorème des croissance comparées.
Pour la 2, y'a pas de secret, faut se prendre par la main et dériver.

Il a parlé de croissance comparé ça te dit quelque chose

[tanouch]

ça ne me dit rien du tout les croissance comparé

[Euler07]

[tanouch]

mouais d'accord.
et pour les sens de variations ?

[Euler07]

As tu trouvé le signe de e-e^x suivant les valeur de x déjà ?

[tanouch]

je sais que e est une fonction constante a 2,72 et que e^(x) et toujours positif
est-ce que le signe dépend de x si il est plus grand ou plus petit que la valeur de e, c'est à dire 2,72 ?