Continuité uniforme

[Di3d3r]

Je suis en master enseignement préparation du CAPES de mathématiques (1ère année)

J'ai un petit soucis avec cet exercice:

On a f une fonction continue sur [-1,1], |f(x)|<|x| (pour x =/ 0)
1) Soit 0<£<1,. Montrer qu'il existe un réel k, 0|f(x)| ;) k|x|, pour tout £;)x;)1
Montrer a l'aide d'un exemple que cette majoration ne peut être réalisée avec le même k pour tout |x|;)1

2) soit fn définie par
f0=x et pour tout n dans N et pour tout x dans [-1,1] fn(x)=f(fn-1(x))
Montrer que pour tout x |fn(x)|;) max(£,kn)


Pour le petit 1) je me suis servi du fait que f(x)/x est bornée sur [£,1], qui est un compact et donc elle atteint ses bornes, et de plus f(x)/x n'atteint jamais 1 donc la borne max est strictement inférieure à 1 (notre k).

Pour la deuxieme partie de cette question je ne sais pas quoi prendre comme contre exemple.

Concernant le petit 2), j'ai bien le k^n, par contre je ne sais pas comment faire apparaître le £^.

Merci de votre aide.

PS: la derniere question est de montrer la convergence uniforme de fn vers 0 sur [-1,1]

[arnaud32]

le fait que 1 ne soit jamais atteint ne te permet pas de conculre car en passant a la borne sup ton inegalite stricte va devenir large.
tu dois utiliser la compacite de ton intervalle et l'uniforme continuite de ta fonction dessus.

[Di3d3r]

Euh arnaud je comprend pas très bien ce que tu dis là.

Je ne fais pas de passage à la limite, on sait que :

Une fonction continu sur un compact atteint ses bornes.
De plus |f(x)/x|<1, donc a fortiori la borna max de |f(x)/x| est elle aussi inférieure à 1.

Cela me semble logique.

Par contre j'arrive pas à trouver le contre exemple pour la deuxième partie du 1).

[Matt_01]

Essaye avec la fonction qui à x associe .
En fait on voit bien que c'est en 0 qu'il va falloir trouver quelque chose. Donc prendre une fonction f qui convient telle que f/Id tend vers un truc pas cool en 0.

[Di3d3r]

Ton exemple marche presque bien jusqu'au bout, juste on a pas l'inégalité f(x) < x sur [-1,1], car dans [-0.3,0.3] f(x) > x

[Nightmare]

Di3d3r, n'est-ce pas la démonstration que je t'ai donnée sur l'autre forum?

Arnaud et Matt > Je ne comprends pas votre scepticisme, la preuve est tout à fait correcte. |f(x)/x| atteint son max, comme ses valeurs sont contenues dans [0;1[, le maximum k est donc dans [0;1[

[Matt_01]

Oups oui j'suis bête de toute manière on ne peut pas obtenir une limite infinie en 0 ne serait-ce parce que la limite appartient à l'adhérence de [0,1[.
Je propose alors

PS nightmare : j'étais tout à fait d'accord avec la preuve concernant le k

[Nightmare]

Au temps pour moi Matt ! Je ne pensais pas que tu répondais au 2 !

:happy3:

[Di3d3r]

Oui nightmare c'est celle la et c'est aussi celle que l'on avait plus ou moins trouvé dans mon groupe (qui ont bossé sur la question) juste on était pas du tout sur de la validité de notre conclusion, d'où la question con que je t'avais posé sur l'autre forum concernant le fameux théorème ...

Et matt on est arrivé à la même conclusion concernant la limite en 0, mais j'avoue que je n'étais pas allé jusqu'à dire que la limite devait appartenir à l'adhérence et du coup on sait quoi chercher une fonction telle que f(x)/x=1 en 0.

ton exemple m'a l'air de marcher un grand merci à toi.

PS: pour être franc nightmare, quand j'ai post sur l'autre forum, j'attendais une autre démonstration , car celle que l'on avait me semblait tiré par les cheveux dans le sens ou elle correspondait pas vraiment à ce que l'on était en train de voir en cours, mais tu m'as convaincu.

PS2: Maintenant me manque plus qu'à étudier les segments sur lesquels la fonction fn converge uniformément
fn(x)=(1-x)^n*sin(2/x) , pour tout x appartenant à ]0,2]
Et j'aurais enfin fini ce DM, concernant cette question j'ai pas eu de réponse sur l'autre forum.