Sommes sh et ch (PCSI)

[magnum13]

Bonjour,

Il me faut calculer les sommes :

Cn(x) = Somme des ch(kx) pour k allant de 0 à n

Sn(x) = Somme des sh(kx) pour k allant de 0 à n

Je n'ai rien fait, je ne vois pas du tout du tout comment m'y prendre :/

Merci pour votre aide

[L.A.]

Bonjour.

on peut toujours essayer de revenir à la définition de ch et sh à partir des exponentielles et voir où cela nous mène.

[magnum13]

Bonjour.

on peut toujours essayer de revenir à la définition de ch et sh à partir des exponentielles et voir où cela nous mène.

Cn(x) = 1/2 Somme pour k de 0 à n (e(kx) + e(-kx))

Sn(x) = 1/2 Somme pour k de 0 à n (e(kx) - e(-kx))

C'est ça ? Et après ?

[L.A.]

Après eh bien il faut réfléchir un peu.
poser q = exp(x) peut aider.

[magnum13]

Après eh bien il faut réfléchir un peu.
poser q = exp(x) peut aider.

Si je fais ça ??

Somme e(kx) = somme e(x)^k = (1 - e(x)^(k+1)) / (1 - e(x))

[L.A.]

Tu tiens l'idée. Du coup,...

(Attention, ce que tu as ecrit en dernier n'a pas de sens, le k est une variable muette et ne peut pas se trouver dans le dernier membre)

[magnum13]

Tu tiens l'idée. Du coup,...

(Attention, ce que tu as ecrit en dernier n'a pas de sens, le k est une variable muette et ne peut pas se trouver dans le dernier membre)

Oui, j'ai oublié le somme de k=0 à k=n devant le dernier membre.

Et du coups, je ne vois pas plus ...

[L.A.]

Oui, j'ai oublié le somme de k=0 à k=n devant le dernier membre.

Ce n'était pas ça, mais plutôt remplacer le dernier k par un n.

On a :

[magnum13]

?????

[L.A.]

Tout ceci est exact.

Maintenant, tu ne vois toujours pas le rapport entre

et

?

[mathelot]

re,

ça se fait très bien comme ça. sinon pour utiliser la même formule
avec les cosinus, poser

ch(z)=cos(iz)

[magnum13]

Tout ceci est exact.

Maintenant, tu ne vois toujours pas le rapport entre

et

?

Et bien, pour ch, on ajoute ces deux sommes et pour sh on soustrait ces deux deux sommes et pour ch et sh on multiplie par 1/2. Mais ça ne se simplifie pas plus si ?

[L.A.]

Ben oui. Mais je doute que tu puisse aboutir à quelque chose de plus simple par une autre méthode. Le but du jeu est d'éliminer le symbole et d'obtenir une expression qui ne fait plus intervenir que n, et c'est le cas ici.

[magnum13]

Ben oui. Mais je doute que tu puisse aboutir à quelque chose de plus simple par une autre méthode. Le but du jeu est d'éliminer le symbole et d'obtenir une expression qui ne fait plus intervenir que n, et c'est le cas ici.

OK OK merci beaucoup, et en ajoutant ces deux sommes, ce n'est pas simplifiable hein ?!

[L.A.]

Non, je ne vois pas de simplification supplémentaire qui soit très utile.

[magnum13]

D'accord, merci beaucoup pour votre aide.

[girdav]

Après, ça dépend si on veut que le résultat soit exprimé uniquement en terme d'exponentielles, ou si on attendu encore les fonctions hyperboliques. Dans le second cas, on peut réduire au même dénominateur.