Problème de suite récurrente...

[cycyimpératrice]

Bonsoir, j'aurais besoin que quelqu'un me donne une piste pour prouver par récurrence que u(n)<1/3 + 1/(3*2^(n-1)), tout en sachant que
u(n+1)=2u(n)/(3u(n)+1), u(n)>1/3, u(0)=1 et u(n+1)< u(n)/2 +1/6. Par avance merci.

[Ben314]

Salut,

Tu n'as besoin que de ces deux informations là :

1) u(0)=1 pour amorcer la récurrence, c'est à dire montrer que la propriété demandée est vrai lorsque n=0

2) u(n+1)< u(n)/2 +1/6 pour faire l'hérédité, c'est a dire pour montrer que, si la propriété est vrai pour un certain entier n, alors elle est aussi vraie pour le suivant n+1.

[Black Jack]

Bonsoir, j'aurais besoin que quelqu'un me donne une piste pour prouver par récurrence que u(n)1/3, u(0)=1 et u(n+1)< u(n)/2 +1/6. Par avance merci.

C'est quoi k ?

Les inégalités employées dans l'énoncé sont-elles strictes comme indiqué ?

:zen:

[cycyimpératrice]

non, c'est n, désolée. Et l'inégalité est en fait large mais je ne peux l'écrire avec le clavier). je dois donc partir de un+1< un/2 +1/6? mais il n'y a pas de n là-dedans...

[cycyimpératrice]

PS: à mon avis il faut appliquer f à l'hypothèse de récurrence avec
f(u(n))=u(n+1)

[Ben314]

Quand tu fait une réccurence, tu peut évidement utiliser tout ce que tu as déjà démontré, donc en particulier que u(n+1)< u(n)/2 +1/6 (qui ne contient "pas de n) pour tout n, mais tu as aussi l'hypothèse de récurence, c'est à dire, ici, que tu suppose que, pour un certain entier n, on a bien u(n)=<1/3 + 1/(3*2^(n-1)), (et là, il y a bien un n) et il suffit de montrer que c'est encore vrai au rang suivant, c'est à dire que u(n+1)=<1/3 + 1/(3*2^n)

[cycyimpératrice]

Quand tu fait une réccurence, tu peut évidement utiliser tout ce que tu as déjà démontré, donc en particulier que u(n+1)< u(n)/2 +1/6 (qui ne contient "pas de n) pour tout n, mais tu as aussi l'hypothèse de récurence, c'est à dire, ici, que tu suppose que, pour un certain entier n, on a bien u(n)=<1/3 + 1/(3*2^(n-1)), (et là, il y a bien un n) et il suffit de montrer que c'est encore vrai au rang suivant, c'est à dire que u(n+1)=<1/3 + 1/(3*2^n)

oui, je sais qu'il faut montrer que u(n+1)<1/3 + 1/(3*2^n), simplement, comment faire? j'ai appliqué f(u(n))=u(n+1) à l'hypothèse de récurrence, je parviens à trouver le 1/3 mais pas le 1/(3*2^n)!

[Ben314]

Bon, on sait que, pour tout n, on a .
On suppose que, pour un certain entier n, on a .
On en déduit que .

[cycyimpératrice]

Bon, on sait que, pour tout n, on a .
On suppose que, pour un certain entier n, on a .
On en déduit que .

je vais essayer comme ca, mais comment sait on que 1/2un + 1/6 < 1/3...? pourquoi pas l'inverse?

[cycyimpératrice]

J'ai trouvé! merci pour votre aide!