Diagonalisation de matrice

[jeanjean40]

Bonjour à tous,

Je me permet de faire appel à votre aide dans l'espoir que vous m'éclairciciez sur la diagonalisation de matrice.
J'ai besoin d'aide surtout pour bien comprendre la méthode.

Prenons l'exemple de la matrice A suivante:

2 1
-1 2

J'ai calculé le polynome caractéristique (avec la méthode p(;))=;)I-A
j'ai obtenu: ;)=i+2 et ;)=i-2 (si j'ai bien compris,ce sont les valeurs propres de A)

Mais voilà aprèsje bloque pour obtenir les vecteurs propres et P/P-1/D... :help:

Le prof nous a donné d'autres exemples(c'était dans un exercice mais il ne les a pas traités qui sont:

B:010
001
100

C:-2 1 -1
-2 2 0
4 -1 3

D:0 1
0 0

Et apparement on ne peut pas diagonaliser toutes les matrices (dans l'énoncé il est marqué:"diagonaliser si possible")

pour ma part, je n'arrive pas à trouver les valeurs propres de B/C(j'obtiens des calculs imposible avec du ^3)..mais D ouip(valeurs propres=+i/-i?)

Bref,un grand merci si il vous est possible de m'éclaircir,merci de m'avoir lu et a+ ==)

[Sa Majesté]

Bonjour à tous,

Je me permet de faire appel à votre aide dans l'espoir que vous m'éclairciciez sur la diagonalisation de matrice.
J'ai besoin d'aide surtout pour bien comprendre la méthode.

Prenons l'exemple de la matrice A suivante:

2 1
-1 2

J'ai calculé le polynome caractéristique (avec la méthode p(;))=;)I-A
j'ai obtenu: =i+2 et =i-2 (si j'ai bien compris,ce sont les valeurs propres de A)

Mais voilà aprèsje bloque pour obtenir les vecteurs propres et P/P-1/D... :help:

Salut

Je trouve 2+i et 2-i comme valeurs propres
Un vecteur propre X pour la valeur propre est tel que AX=;)X ou (A-;)I)X=0
Pour =2+i, A-;)I fait
-i 1
-1 -i
Si X=(a,b) tu obtiens -ia+b=0
donc tu peux prendre par exemple a=1 et b=i

[jeanjean40]

Bon je suis sincérement désolé...j'avoue ne pas avoir compris:$ (déjà je suis d'accord pour tes valeurs propres..je me suis trompé en écrivant) ..mais je ne vois pas comment obtenir les vecteurs propres..etcomment tu obtiens la matrice:

-i 1
-1 -i

(désolé:$ et si possible,juste me dire également comment obtenir la matrice de passage,ainsi que P puis D..je sais que c'est soit à partir des valeurs/vecteurs propres, mais dans quel ordre?:$ un grand grand merci d'avance:)

[zephira]

en gros en cas de valeurs propres complexes, tu cherche le vecteur propre associé a l'une. (vu que l'une est le conjugué de l'autre)
tu obtiens un vecteur propre complexe.
Ta matrice de passage est alors la matrice dont la premiere colonne sont les coordonnées reels de ton vecteur propre et la deuxieme colonne les parties imaginaires de ton vecteur propre.
Ta matrice diagonale est constituée alors de la partie reelle de ta valeur propre et de la partie imaginaire de cette même valeur propre.
Pour P-1 tu inverses P
Voila j'espere avoir été clair.

[jeanjean40]

est il possible d'expliquer via un exemple concret stp?:$

[zephira]

tu obtiens 2+i comme valeur propre pour A
tu poses x1=a+ib x2=c+id et tu cherches a, b,c,d tq
A(a,c)'=(2a-b,2c-d)' (1)
A(b,d)'=(a+2b,c+2d)' (2)
c'est a dire A(x1,x2)'=(2+i)*(x1,x2)'
' désigne la transposée.

de (1) tu tires c=-b et a=d
de (2) tu obtiens la meme chose evidemment
d'ou ton vecteur propre (a+ib,-b+ia)
donc ta matrice de passage s'écrit (W', Z')
où W=(a,-b) Z=(b,a)
ta matrice diagonale secrit (V',B') ou V=(2,0) B'=(0,1) et je te laisse vérifier que je ne me suis pas trompé ^^

[jeanjean40]

ce problème me montre bien à quel point je suis nulle en maths lol:p en cours nous avons obtenu:

2+i 0
0 2-i
..

[Doraki]

Ta matrice de passage est alors la matrice dont la premiere colonne sont les coordonnées reels de ton vecteur propre et la deuxieme colonne les parties imaginaires de ton vecteur propre.
Ta matrice diagonale est constituée alors de la partie reelle de ta valeur propre et de la partie imaginaire de cette même valeur propre.

Euh ... non ?
La matrice de passage ici elle a des coefficient complexes, elle contient un vecteur propre de 2+i, ainsi qu' un vecteur propre pour 2-i, qu'on peut prendre conjugué du précédent.

Et la matrice diagonale complexe obtenue est bien celle du cours de jeanjean.

Et pour trouver un vecteur propre, il suffit de résoudre Ax = (2+i)x, et normalement tu trouves que x= (1,i) est un vecteur propre pour la valeur propre (2+i).
Et en conjuguant (parceque A est une matrice à coefficients réels, les vecteurs propres et les valeurs propres complexes viennent par paires conjuguées), on trouve que (1,-i) est un vecteur propre pour la valeur propre (2-i)

[jeanjean40]

ouki merci,j'ai réussi à trouver les vecteurs propres;)

V1=(1,i)
V2=(1,-i)

et si je comprend bien..du coup,

la matrice de passage serait:

P=

1 i
1 -i

et la matrice diagonale serait:

2+i 0
0 2-i

???