Problème de Proba

[Thoumas]

Bonjour tout le monde. Voici mon petit problème de probabilité qui lui me pose de gros problèmes :

Un joueur participe à un jeu se jouant en plusieurs parties
Ses observations lui permettent d'affirmer que :
-S'il gagne deux parties conscutives, alors il gagne la prochaine avec la probabilité
-S'il perd une partie et gagne la suivante, alors il gagne la prochaine avec la probabilité
-s'il gagne une partie et perd la suivante, alors il gagne la prochaine avec la probabilité
-s'il perd deux parties consécutives, alors il gagne la prochaine avec la probabilité
Pour tout entier naturel n non nul, on note An l'évenement : "le joueur gagne la n-ieme partie"
De plus, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on pose :





Alors le début du sujet rien d'insurmontable, donc j'attaque directement la partie 3 qui me semble indépendante du reste:

Dans toute la suite, on suppose que le joueur a gagné les deux premières parties
3)a) Calculer pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 p(), p(), p(), p()
3)b) Calculer les limites de p(), p(), p(), p() lorsque n tend vers

Bon alors blocage complet, je serais bien reparti sur une récurrence mais je ne vois pas du tout comment la poser. Je vous remercie de bien vouloir me donner un indice pour le départ.

[Doraki]

Une récurrence, oui, ça peut marcher.
Si on appelle Xn le vecteur (P(En),P(Fn),P(Gn),P(Hn)),
l'énoncé permet de donner une relation simple entre Xn et X(n+1).

[Thoumas]

Bon en faite j'arrive pas du tout à voir ce que représente exactement , , et .
Tel que je vois la chose, c'est la probabilité de gagner la partie n et n-1. Donc Pour n=2 J'ai Vu qu'il est dit dans l'énoncé que le joueur a gagné la partie 1 et 2 ()
Ce qui me pose problème c'est pour l'expression de , et Pour n = 2 je me retrouve avec par exemple pour l'évènement : Vu que la partie 1 a été gagné et ça me semble fort louche. Donc je me demande si mon interprétation des évènements n'est pas erroné.

[Doraki]

F2 = il a gagné la partie 2 et perdu la partie 1.
Or comme il a gagné la partie 1, y'a rien de louche à ce que F2 soit nul.

C'est facile de vérifier que P(En) + P(Fn) + P(Gn) + P(Hn) = 1 ;
que P(En inters. Fn) = 0 ; et de même pour les autres paires.

En, Fn, Gn, et Hn sont 4 événements disjoints dont la réunion recouvre tout.

Ils sont là pour dire quel est l'état du jeu et pour donner la probabilité que le joueur gagne la partie suivante.

Pour tout n >= 3,
l'énoncé dit exactement que la probabilité pour le joueur de gagner le n-ième match dépend si c'est En, Fn, Gn, ou Hn qui est vérifié, et ça sera respectivement 2/3, 1/2, 1/2, 1/3.

Si on avait pas d'hypothèse sur les deux premières parties bah on aurait aucun moyen de trouver la probabilité que le joueur gagne la 2ème partie vu que ça rentre dans aucun cas de figure.

Donc l'énoncé impose que le joueur a déjà gagné 2 parties pour donner un point de départ, et à partir de là, on peut calculer la probabilité qu'il gagne la 3ème partie et on continue.