DM sur les suites

[ghostrider8]

Salut a tous.
Voila, j'ai un probleme avec mon dm de math, (qui est d'ailleurs tres/trop long...). C'est sur les suites et les emprunts bancaires, mais je n'y arrive pas. Un peu d'aide, s'il vous plait ! Bon, je poste mon sujet :


Une somme S0 (S zéro) est empruntée le 1er janvier de l'année 0 à un taux annuel de t% (intérêts composés). Au 1er janvier de l'année 1, la somme est réévaluée de t% et l'on rembourse une somme fixée au départ appelée l'annuité (notée a). La somme restante à rembourser au premier janvier de l'an 1 après ces deux opérations (le capital restant dû) est noté S1. Le mécanisme se poursuit d'année en année jusqu'à ce que le capital restant dû arrive à 0.
Notons Sn la somme restant à rembourser le 1er janvier de l'année n.

1) Expliquer la formule : S(n+1) = Sn * c - a ou c = 1 + (t/100).

2) La suite (Sn) (n > ou = à 0) est une suite arithmetico-géometrique.
a) Exprimer Un+1 en fonction de Un.
b) Comment choisir k pour que Un soit géometrique ?
c) Donner sa raison puis exprimer Un en fonction de n, de S0 (S zéro), c et a.
d) En déduire Sn en fonction de n, S0, c et a.

3) On appele N le nombre d'année nécessaire au remboursement, c'est à dire que l'on a Sn = 0. Grâce à 2)d) :
a) Donner a en fonction de N, S0 et c.
b) Donner S0 en fonction de a, N et c.


La suite, il me faut juste ces données, donc je le ferais tout seul (un peu de travail quand meme !). Merci d'avance :D

[delphine85]

As tu au moins essayé de calculer S1 à partir de S0????

pour le 2), relis l'énoncé, je pense que tu as oublié de nous parler de certaines choses!

[ghostrider8]

Effectivement, j'ai oublié un truc :
2) LA suite (Sn)n> ou = a 0 est une suite arithmetico geometrique. Soit un nombre k fixé et (Un) la suite definie pas Un = Sn + k.

Oui, j'ai voulu calculer S1, mais S0 n'est pas donné, et n'ayant aucune valeur, je ne trouve pas la solution. Et, chose qui n'arrange pas les chose, je ne comprends vraiment rien a l'énoncé...

[gigamesh]

bonsoir,
tu peux commencer par un exemple numérique ; ça ne répond pas aux questions, mais ça aide à comprendre comment fonctionne l'exercice.

Exemple : tu empruntes 1000€ ; à la fin de chaque année tu rajoutes 5% d'intérêts à ce que tu dois, et tu rembourses 100€.

Au début tu dois 1000€
Au bout d'un an, 1000 * 1,05 -100 = 950
Au bout de deux ans, 950 * 1,05 -100 =897,5
Au bout de trois ans, 897,5 * 1,05 -100 = ...
et ainsi de suite...

Dans ton exercice, au lieu de *1,05 qui traduit le 5% et au lieu de -100 pour le remboursement que tu effectues, tu travailles avec des lettres pour garder un cadre plus général.

au bout de ton exercice, tu vas trouver les formules utilisées par les banques pour répondre à des questions du genre "j'emprunte sur 15 ans à 3,4% et je peux rembourses 650 € par mois, combien la banque peut me prêter".

Bon courage

[ghostrider8]

Bonjour,
J'ai avancé dans mon DM, mais la question 2a) me pose un nouveau soucis.
J'ai suivis vos conseils, en calculant Un+1 en fonction de Sn+1; la suite etant arithmetico geometrique, elle est de type Un+1= Un+ r. J'ai donc d'abord calculer Un. Je trouve Un = ((Sn+1)/(1+ [t/100]-a)) + k. donc Un+1= ((Sn+1)/(1+[t/100]-a)) + k +r r étant la raison.
= ((Sn x (1+(t/100)-a)/(1+(t/100)-a)) +k +r
Cela revient en fait a Un+1= Sn +k +r. (Résultat que j'aurais pu trouver depuis le début...) Mais je trouve le resultat relativement bizarre... Trop evident. Me suis je trompé quelque part, et est ce la reponse qu'on attends ?