Limites, Math analyse

[minisac]

Bonjour, j'ai un exercice à faire sur les limites et je dois avouer que je sèche un peu.

La première: h(x)= racine(x²-x-3) - x pour x -> + infini

Donc j'ai commencé par calculé le déterminant de x²-x-3 et je trouve qu'en +infini, le polynôme tend vers + infini et donc h(x) est de forme indéterminée.

A partir de ce moment là je ne sait plus quoi faire. J'ai tout de même deux pistes (qui sont peut être toute les deux fausses):

1ère: j'essaie de transormer h(x)

soit h(x)= x²-x-3 -x² / racine(x²-x-3) +x = x(-1-(3/x)) / x[racine(x-(3/x) -1] +1)

et là je suis bloqué :/ ( en cours je trouve ça bizarre car on a noté que racine(x²+x+1)+x = x[racine(1+(1/x)+(1/x²))+1] => je ne comprend pas le 1/x² ..


2ème piste: Le prof nous a donné comme indice que l'énoncé est de la forme a²-b²=(a-b)(a+b) seulement si a²=racine(x²-x-3) que vaut a? de même pour b?


Voilà si vous pouviez m'éclaircir à ce sujet.. Surtout que je suis sûr qu'après ces explications j'arriverai à résoudre le problème..


Merci d'avance pour les réponses que vous pourrez m'apporter!

Minisac

[minisac]

je voulais aussi ajouter que je rencontre une difficulté à résoudre:

lim racine(x^3 +x² - 1)^3 - x en +infini

la aussi le prof nous a dit que c'était égal à a^3 - b^3 =(a-b)(a²+ab+b²).

mais à quoi sont égaux (a-b) et (a²+ab+b²) ???

Merci d'avance .

[Ericovitchi]

Oui c'était bien ton idée de quantité conjuguée pour racine(x²-x-3) - x

Quand tu en es à x(-1-(3/x)) / x[racine(x-(3/x) -1] +1)
tu n'as plus qu'à simplifier par x ---> (-1-(3/x)) / [racine(x-(3/x) -1] +1)
ça n'est plus indéterminé. le numérateur tends vers -1 le dénominateur vers l'infini, ça tends vers zéro


Pour racine(x^3 +x² - 1)^3 - x moi j'aurais à nouveau multiplié par (x^3 +x² - 1)^3 + x
le numérateur devient [racine(x^3 +x² - 1)^3]²-x² = [racine(x^3 +x² - 1)²]³-x²-x²=(x³+x²-1)³-x² et là c'est en x^9 donc il suffit de diviser par x^9 en haut et bas pour montrer que le numérateur tends vers 1 et le dénominateur vers zéro donc le tout vers l'infini

[minisac]

merci pour ces réponses rapides :)

Pour le premier exo c'est ce que je pensais.

seulement en cours on avait vu un exemple de ce type pour:

racine(x²+x+1) -x en +infini

on transforme la fonction de la même manière:

soit x²+x+1-x²/racine(x²+x+1+)+x

on factorise pour le numérateur cela donne x(1+(1/x)
et pour le dénominateur (et c'est là que je ne comprend pas du tout): x(racine(1+(1/x)+(1/x²)) +1 )

=> ça ne devrait pas plutôt être x(racine(x+1+(1/x))+(1/x)) ??? pourquoi ce 1/x²??
Est-ce possible que le professeur ai fait une erreur ou cela ce justifie?

Car si cela est possible on arrive à en conclure que la limite de la fonction en + infi tend vers 1/2
Alors que si c'est une erreur dans la résolution de l'exercice, on en conclue, comme pour la fonction dont tu m'a aidé à résoudre la limite, que cela tend vers 0.

Alors, qu'en pensez vous ?

Bien à vous.

[Ericovitchi]

racine(x²+x+1)=racine [x²(1+1/x+1/x²)]=x . racine (1+1/x+1/x²)

au début on mets juste x² en facteur dans la racine puis
un x² sort de la racine en x. Il y a quelque chose qui t'échappe là dedans ?

[minisac]

exact.
Donc plus précisément pour mon premier exercice on peut dire:

h(x)= x(-1-(3/x)/x .(racine(1 - (1/x) - (3/x²)) +1)

on simplifie par x

<=>(-1-(3/x)/racine(1 - (1/x) - (3/x²)) +1

et donc la limite en +infini de la fonction tend donc vers 0 mais plus précisément vers
-1/2
car limite en +infini de -1-(3/x)=-1 et lim +infini de racine(1 - (1/x) - (3/x²)) +1 =2


Peut on en conclure cela?

Merci pour les réponses que tu as déjà pu m'apporter.

[Ericovitchi]

oui -1/2 c'est juste

[minisac]

très bien merci bien, et bonne soirée!