Matrices symétriques

par **les TPEistes** » 26 Fév 2010, 11:09

Bonjour,

Un petit exercice m'ennuie et je ne sais pas comment m'y prendre pour le résoudre. Le voici :

On dit que

est une matrice symétrique positive ssi

Soit

et

une matrice symétrique.

Montrer que A est une matrice symétrique positive

Merci de votre aide !

par **Nightmare** » 26 Fév 2010, 11:36

Salut !

Qu'as-tu essayé? Certaines implications sont triviales au sens où il suffit d'écrire les définitions, par exemple "A positive => Sp(A) inclus dans R+"

Pour la réciproque, tu peux réduire ta matrice symétrique sous forme diagonale.

Je te laisse essayer les autres, utilise à bon escient le théorème de réduction

par **les TPEistes** » 26 Fév 2010, 12:16

Bonjour nightmare.

J'avoue ne pas comprendre la "trivialité" de la première implication :hein:

Merci de ton aide en tout cas.

par **Nightmare** » 26 Fév 2010, 12:17

Par définition d'une valeur propre lambda, il existe un vecteur X, dit propre, tel que

tu n'as plus qu'à multiplier à gauche par

!

par **les TPEistes** » 26 Fév 2010, 12:29

D'accord, "il existe", mais est-ce qu'il ne faudrait pas que ce soit "pour tout" ?

par **Nightmare** » 26 Fév 2010, 12:34

Pourquoi? Déjà, c'est clairement faux, ensuite un seul suffit. Je te rappelle qu'on veut juste montrer que lambda est positif.

De quel signe est

? Donc de quel signe est

? Mais de quel signe est

? Donc de quel signe est lambda?

par **les TPEistes** » 26 Fév 2010, 12:50

D'accord ;)

J'ai trouvé la réciproque.

Je vais essayer de chercher la deuxième équivalence, je repasserai si j'ai un souci.

Merci encore ! :we:

par **les TPEistes** » 26 Fév 2010, 13:14

C'est bon pour le reste aussi !

Merci et bonne journée nightmare !

:ptdr:

par **Nightmare** » 26 Fév 2010, 13:20

Je t'en prie :happy3:

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