Fonctions Terminale : Ln

[marine75]

Bonjour,
je me permets de venir ici car nous avons un devoir à faire pour la semaine prochaine mais je suis vraiment bloquée.
Merci par avance, bonne journée

Une entreprise fabrique un produit,en quantité x, exprimée en milliers de tonnes. Le coût totl de fabrication est donné par :
C t(x) = x^2 /4 + 9/2 ln(x+1) (pour x appartien à [0;5[
Couts exprimés en millions d'euros.

A) Fonction auxiliaire f def sur [0;5[
On considere la fontion f par : f(x) = x^2/2 + 9x/x+1 - 9ln(x+1)

1)Calculez f'(x). Vérifiez que l'on peut ecrire :
f'(x) = x(x-2)(x+4) /(x+1)^2
2) tableau de variation de f sur [0;5[
3) déduisez en que f s'annule sur ]2;5] pour une valeur unique a. Déterminez un encadrement a 10^-3 prés de a. (precisez methode utilisée)
4) déduisz des résultats précédents le signe de f sur [0;5[

1) Je suis déja bloquée pour dériver f(x). Les formules à appliquer sont u/v?
dérivée de 9ln(x+1= 9. 1/(1+x) ?
Ne sachant pas faire cette question, je ne peux pas avancer dans l'exercice. Merci encore pour votre aide.

[Ben314]

Salut,
-La dérivée de x->x² est ...
-La dérivée de x-> x/(x+1) est ... ( formule (u/v)'=...) pour x non=-1
-La dérivée de x->ln(x+1) est 1/(x+1) pour x+1>0
Donc la dérivée de f est ...

[marine75]

Merci pour ta réponse.
Donc :

f(x) = x^2/2 + 9x/x+1 - 9ln(x+1)

La dérivée de x->x² est 2x?
-La dérivée de x-> x/(x+1) est ... ( formule (u/v)'=u'v-uv') pour x non=-1
-La dérivée de x->ln(x+1) est 1/(x+1) pour x+1>0
Donc la dérivée de f est ...

dérivée de x^2/2 = x
derivée de 9x/x+1 = 9.
dérivée de 9ln(x+1) = 9 /(x+1)

f'(x) = x + 9 - 9(1/(x+1) ???
merci encore

[Ericovitchi]

La dérivée de 9x/x+1 ne va pas. C'est un u/v donc la dérivée vaut (u'v-v'u)/v². Ca n'est sûrement pas ce que tu as fait pour trouver 9 !
tu as oublié le v² au dénominateur

[marine75]

Oh oui...


f'(x) = x+ 9/(x+1)^2 - 9/x+1
f'(x) =

Ensuite je ne sais pas,on doit pouvoir simplifier par x+1 mais je n'y arrive pas.
merci :)

[Ericovitchi]

Tu mets tout le monde au même dénominateur. tu simplifies un peu le numérateur, tu mets x en facteur et le polynôme du second degré qui apparait a des racines simples à calculer.

[marine75]

Merci. Je reprends donc :

= x + 9(x+1)^2 - 9(x+1)/(x+1)^2

= x + 9-9x-9/(x+1)^2
= -8x /(x+1)^2

merci encore

[Ericovitchi]

non quand tu mets par exemple le premier terme x au même dénominateur, ça le multiplie par (x+1)^2, ça crée des x^3, tu as simplifié abusivement.

[marine75]

Ah oui en effet, j'ai fait n'importe quoi. Merci beaucoup.

Donc pour le tableau de variation :

f(0) = 0
f(5) = 135/46 =~ 4,03

Mais je n'arrive pas à dresser le tableau...
merci encore

[Sylviel]

Non, pour le tableau de variations il faut étudier le signe de la dérivée...

[marine75]

Donc :

Valeur interdite : -1

ensuite je ne sais pas comment m'y prendre.
Merci encore

[marine75]

dois je faire avec DELTA? je suis vraiment desolée mais j'ai de gros problemes.
Bonne journée, merci encore

[Ericovitchi]

tu n'as pas besoin de calculer de discriminant puisque tu as déjà mis en facteurs le numérateur de ta dérivée. Il te suffit de regarder le signe de chaque facteur, puis du produit, écrire ça dans un tableau de signes, etc....

[marine75]

donc :

x^2/2 = croissant
9 x/x+1 = croissant
-9 ln (x+1) = ?

et quelles sont les valeurs où ca s'annule? =0?
merci encore

[Ericovitchi]

je parlais de la dérivée. Il faut regarder globalement son signe pour déduire la croissance ou la décroissance de la fonction car sinon on risque de faire des erreurs (par exemple là tu as un - 9ln(x+1) qui est décroissant et une fonction croissante + une fonction décroissante ça peut faire n'importe quoi)