Mat(B1,B2)

[DJ-Jay]

Bonjour à tous on vient d'aborder les matrices et je n'arrive pas à déterminer Mat(B1,B2) quelqu'un peut-il me la donner ? (et me donner la méthode si possible ^^) en sachant que

B1=((1,2,1),(2,3,3),(3,7,1))

B2=((3,1,4),(5,3,2),(1,-1,7))

Pour ceux qui sont intéressés j'ai montré que B1 et B2 étaient deux bases de R^3

Et je dois déterminer les coordonnées de u dans B2 sachant que dans B1 u=(x;y;z)

d'où ma recherche de Mat(B1,B2)


Merci d'avance pour vos aides!!!

[Ben314]

Salut,
Ecrit les matrices M1=Mat(B,B1) et M2=Mat(B,B2) où B est la base canonique de R^3 (i.e. celle dans laquelle tes six vecteurs sont écrits) puis essaye de trouver le lien entre M1, M2 et la matrice M=Mat(B1,B2) que tu cherche...

Indic : Si le même vecteur u a pour coordonnées respectives X, X1 et X2 dans les bases B, B1 et B2, quels liens y a t'il entre tout ça ?

[DJ-Jay]

Merci pour l'aide,

alors déjà je vois que M2=M*M1...
mais en quoi ça peut m'aider pour trouver M ? :(

[Ben314]

Bon, perso, je trouverais plutôt M2=M1*M...
pour vérifier, peut tu me donner la déf. de "matrice de passage" que tu as dans ton cours ?

Aprés, partant de M1*M=M2, tu ne sait pas écrire M=... ?
(Rappel : les matrices de passages sont toujours inversible.)

Evidement, ça ce termine par... du calcul.

Edit : ta matrice Mat(B1,B2), c'est bien la matrice de passage de B1 à B2 (et pas de B2 à B1) ?

[DJ-Jay]

J'ai pas de cours encore là dessus j'essaie de m'avancer un peu comme ça :) .On a vu aujourd'hui la multiplication des matrices, mais matrices de passage pas encore...J'ai vu un peu ce que c'était sur le net mais sans plus.

[Ben314]

un Mini-Cours :
1) La matrice de passage de B1 à B2 c'est la matrice dont les colonnes sont les coordonnées des éléments de la base B1 exprimés dans la base B2.
Par exemple, dans ton exo, il n'y a aucun calcul pour trouver la matrice de passage de la base canonique à la base B1 : il suffit de mettre en colonne les coordonées (telle quelle) des trois vecteur formant la base B1.

2) Si M est la matrice de passage de B1 à B2 et qu'un vecteur u a pour coordonnées (en colonne) X1 dans la base B1 et X2 dans la base B2 alors X1=M.X2 : la matrice M donne les coordonnées dans la base B1 conaissant celle dans la base B2.

Dans ton exo, avec les notations de mon premier post, on a donc :
X=M1.X1 ; X=M2.X2 ; X1=M.X2
donc M2.X2=X=M1.X1=M1.M.X2
et, comme cette égalité est vrai pour tout vecteur colonne X2, on en déduit que M2=M1.M (attention : le produit matriciel ne commute pas)

Arrivé à ce point, si on a vu ce qu'est l'inverse d'une matrice (mais c'est pas sûr que tu l'ait vu...) partant de M2=M1.M, en multipliant à gauche par l'inverse de M1, on obtient M=M1^(-1).M2.

Si tu n'as pas vu les inverse de matrices, il ne te reste plus qu'à le faire "à la main", c'est à dire en regardant comment écrire les vecteur de B1 dans la base B2.
Pour le premier vecteur, cela revient à chercher a,b et c tels que :
(1,2,1) = a(3,1,4) + b(5,3,2) + c(1,-1,7)
Les solutions te donnent la première colonne de Mat(B1,B2)

Bon courage (je vais bouffer)

[DJ-Jay]

Énorme! Merci beaucoup!
Et bon ap ^^

[DJ-Jay]

Arrivé à ce point, si on a vu ce qu'est l'inverse d'une matrice (mais c'est pas sûr que tu l'ait vu...) partant de M2=M1.M, en multipliant à gauche par l'inverse de M1, on obtient M=M1^(-1).M2.

Merci ça m'a vraiment aider à capter, mais comment détermine M1^(-1)
c'est mat(B1,B), d'après ce que j'ai compris c'est la matrice de passage de B à B1 mais comment la déterminer???

[Finrod]

Il y a un algorithme pour ça.

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89limination_de_Gauss-Jordan

[alavacommejetepousse]

un Mini-Cours :
1) La matrice de passage de B1 à B2 c'est la matrice dont les colonnes sont les coordonnées des éléments de la base B1 exprimés dans la base B2.


Par exemple, dans ton exo, il n'y a aucun calcul pour trouver la matrice de passage de la base canonique à la base B1 : il suffit de mettre en colonne les coordonées (telle quelle) des trois vecteur formant la base B1.

bonsoir c'est bien sûr l inverse

d'où en effet le non calcul pour l écrire dans l exemple