Singularités et nature

[Neb]

Bonjour à tous,
Je me suis renseigné au sujet des singularités et j'arrive maintenant à les déterminer. Cependant, je ne comprends toujours pas ce que veulent dire "singularités isolées", "essentielles" ou encore "éliminables".
De plus pouvez-vous m'expliquer la différence entre singularités et pôles ?

[Ben314]

Bonjour.
Je suppose que tu parle de fonctions holomorphes ?
Pour moi, une "singularité" c'est un point à la frontière du domaine de définition.

Une "singularité isolée" c'est un point Zo tel que la fonction soit défini sur tout un disque centré en Zo, sauf au point Zo. Au départ, on n'étudie principalement que ce type de singularité.

Il y a un "gros théorème" qui dit que les singularités isolées se rangent en 3 catégories :

1) Les "fausses" singularité (à mon avis c'est la même chose que les "éliminables") : la fonction f admet une limite en Zo. Dans ce cas, si on prolonge f, la nouvelle fonction est encore holomorphe.
Exemple : sin(z)/z en 0


2) Les "pôles" : la fonction f tend vers l'infini (en module) lorsque Z tend vers Zo. Dans ce cas, il existe un unique entier d (appelé ordre du pôle) tel que la fonction (Z-Zo)^d.f(Z) admette une limite non nulle en Zo (et en vertu du 1), cette fonction se prolonge en une fonction holomorphe)
Exemple : sin(z)/z^4 en 0 -> pole d'ordre 3

3) Les "singularités essensielles" : la fonction f n'as pas de limite (en module) lorsque Z tend vers Zo. Dans ce cas, c'est le bordel... Il y a un GROS théorème qui dit que dans tout disque (aussi petit soit il) centré en Zo, la fonction f prend une infinité de fois toute les valeurs complexes sauf au plus une. On ne peut pas la rendre holomorphe en la multipliant par un (Z-Zo)^?
Exemple : exp(1/z) en 0