Puissance de matrice

[Mimi60]

Bonjour.

Je n'arrive pas à résoudre cet exercice:

"Soit SL2(Z) l'ensemble des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients dans Z (ensemble des entiers relatifs) telles que leur déterminant vaille 1.
Soit A appartenant à SL2(Z).
On suppose que: il existe p un entier naturel tel que A^p=I2 (matrice unité d'ordre 2).

Montrer que: A^12=I2".

Il s'agit d'un exercice de réduction d'endomorphismes.

Pouvez-vous m'aider?

Mimi60

[dudumath]

Si A est diagonalisable,
On diagonalise, on a P-1AP=diag(a,1/a) car le déterminant = produit des valeurs propres est 1

Or, a est dans Z (car comme la somme des valeurs propres est un entier, on doit avoir a+1/a=(a²+1)/a qui est un entier, or pour tout a supérieur à 2,
a²+1 et a sont premiers entre eux )

donc a =1 ou -1

donc soit P-1AP=I soit P-1AP=-I

P-1A^12P=(+I ou -I)^12 et A^12=I

[Ben314]

Connait tu les polynômes cyclotomiques ?
Si oui, regarde quelle sont les différentes possibilités pour le polynôme minimal d'une matrice qui vérifie A^p=In (en dimension quelconque, puis dans le cas particulier de la dimension 2)

P.S. (pour dudumath) qu'entend tu par diagonalisable ici ?
Diagonalisable dans C ? (dans ce cas a est complexe et on ne peut pas faire d'arithmétique pour déduire que a=1)
Diagonalisable dans Q ? (dans ce cas, hélas il n'y a que trés trés peu de matrices de GL_2(Q) qui sont diagonalisables)

Pour éviter trop d'erreur, regardez cette matrice

P.S.2 (pour mimi60) : on peut aussi parfaitement s'en sortir sans les polynômes cyclotomiques en montrant qu'une matrice A telle que A^p=I2 est forcément diagonalisable dans C puis en regardant les valeurs propres (complexes) possibles ET le polynôme caractéristique de A...

[dudumath]

Bien vu Ben314, j'étais un peu à côté de la plaque là ^^