Somme de puissances des entiers

[metamasterplay]

Bonjours,

un exercice sur les récurrences que j'ai trouvé et que je n'arrive pas à résoudre:

Soit P un polynôme de degré k, montrer qu'il existe un polynôme de degré K+1 tel que:
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Pour y arriver il me faut démontrer que la somme jusqu'à un certain n des k-puissances des entiers est un polynôme en n de degré K+1, i.e:
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Une formule un peu familière qu'on trouve souvent pour les premières puissances:
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Mais je n'arrive pas à trouver une formule générale :triste: .

[girdav]

Salut!
Tu peux développer par le binôme de Newton et sommer sur .

[Ben314]

Salut,
Pour trouver le polynôme Q (de ta première question), tu écrit que Q doit vérifier ??? pour que l'on puisse montrer (par récurrence sur n) que la formule qui t'interesse est vraie.
Ensuite tu écrit Q(x)=a_0+a_1X+...+a_(k+1)X^k et tu regarde le système d'équations (linéaires) que cela donne. Il est clair que ce système admet une et une seule solution...

P.S. : La méthode proposée par Girdav est légèrement différente et permet d'expliquer pourquoi il existe des formules similaires au 3 que tu as donné (et même de les calculer de proche en proche...)