Méthode de Newton

[the_pooh12]

Bonjour,

Je suis entrain d'étudier la méthode de Newton pour l'approximation de zéro d'une fonction numérique réelle.
Je fais la démonstration de la partie du théorème qui donne une majoration de |u_(n+1) - X | où X est le zéro de la fonction f.

Voilà ce qui m'embête :
On considère la fonction f de classe C² sur [a,b], f'>0 et f''>0. Soit X le zéro de la fonction f.
On sait que la fonction définie par Q(t) = t - (f(t)/f'(t)) stabilise l'intervalle [X,b].

Je calcule |u_(n+1) - X| = |(u_n - X)*f'(u_n) - f(u_n)|/|f'(u_n)|.
Dans plusieurs livres je trouve ceci : on utilise la formule de Taylor-Lagrange, donc il existe m dans ]X, u_n[ (puisque seulement [X,b] est stabilisé par Q) tel que :
f(X) = f(u_n) + f'(u_n)*(X - u_n) + f''(m)*(X - u_n)²/2.

Seulement si j'applique la formule sur ]X, u_n[ , je devrais avoir
f(u_n) = f(X) + f'(X)*(u_n - X) + f''(m)*(u_n - X)²/2.
Mais f(X) = 0, et alors cette formule n'est pas valable...
(Et en plus X - u_n < 0)

Je ne vois pas d'où provient mon erreur. Pourriez-vous m'expliquer s'il vous plaît ?

Merci par avance !

[Ben314]

Les deux formules que tu donne:
1) f(X) = f(u_n) + f'(u_n)*(X - u_n) + f''(m)*(X - u_n)²/2.
2) f(u_n) = f(X) + f'(X) *(u_n - X) + f''(m)*(u_n - X)²/2
sont toutes les deux valables (sauf qu'évidement, ce n'est pas forcémént le même m dans les deux) et le fait que f(X)=0 ne pose aucun problème ni dans l'une, ni dans l'autre...
Par contre, vu le résultat de |u_(n+1) - X|=... la première formule est plus utile que la deuxième.
Je pense que ton problème vient du fait que tu ne visualise la formule de taylors que sur [a,b] (avec aLa formule est aussi valable sous la forme f(b)=... [ 1) ci dessus ]

Je pense que la meilleure facon de l'exprimer est :
Pour a et x tels que f soit de classe C^k entre a et a+x (i.e sur [a+x,a] si x<0 ou bien sur [a,a+x] si x>0) on a :
f(a+x)=f(a) + f'(a) x + f''(a)/2! x² + ... + f^(k-1)(a)/(k-1)! x^(k-1)
+f^(k)(a+y)/k! x^k
où y est entre 0 et x (i.e. dans [x,0] ou dans [0,x])

Dans cette formulation, il est bien plus explicite que le x peut bien sûr être positif mais il peut aussi être négatif...

Comme la preuve de ce théorème utilise le Théorème des Accroissements Finis, il suffit de voir que l'égalité f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a) peut s'écrire
1) f(b)=f(a)+f'(c)(b-a)
ou bien 2) f(a)=f(b)+f'(c)(a-b)
(ici, les deux formules disent exactement la même chose, mais, dans la formule de taylors à l'ordre k>=2, dans la formule 1) il apparait des f'(a), f''(a)... alors que dans la 2), c'est des f'(b), f''(b)... et les deux ne disent plus la même chose)

[hilel]

Bonjour à tous, j'ai un exercice noté à rendre et je n'arrive pas du tout à le faire si quelqu'un peut me donner un peu d'aide ce serait très gentil. C'est en anglais :

1. Use the Newton-Raphson method to find to an accuracy of 5 decimal
places the 3 largest values of x at which the tangents to the curves y = exp(x)
and y = cos(x) are parallel.

En utilisant la méthode de Newton-raphson pour trouver une estimation à 5 décimales, les 3 valeurs de x pour lesquells les tangentes des fonctions y=exp(x) et y=cos(x) sont parallèles.

[mathelot]

bonjour,

c'est bizarroïde, l'équation

semble avoir une infinité de solutions dans


ah oui, ils demandent les trois plus grandes solutions !!!
l'équation n'a pas de solution strictement positive car

si x>0

ça suggère d'appliquer la méthode de Newton en partant de
?

une fois encadrée la 1ère racine
il faut trouver une nouvelle initialisation à gauche de ??

mais les courbes représentatives de
exp()+sin()
et de
sin()
sont asymptotes l'une de l'autre quand x tend vers
Leurs zéros sont à peu de choses près