Methode de Newton

[wuyaosi]

Bonjour,
Y aurait-il quelqu'un qui pourra m'aider a resoudre numeriquement par la methode de Newton ce system d'equation :



D'avance merci,
Etudiant a l'Institut de Gestion

[XENSECP]

(x+y)^2 = 1
x = y

Euh il y a besoin d'une méthode de Newton ?

[wuyaosi]

Bonjour et merci pour votre intervention, je sais bien que qu'il s'agit de (x+y)^2 et x=y, seulement on me demande de le resoudre numeriquement par la methode de Newton.

Encore merci

[phryte]

Bonjour.
Tu exécutes cet algorithme avec x(1)=1 et y(1) = 1 ou autre initialisation...
f(x,y) = x2+2xy + y2-1 = 0
g(x,y) = x-y = 0

[img][IMG]http://img514.imageshack.us/img514/417/newton.jpg[/img] [/IMG]

Avec :
[img][IMG]http://img147.imageshack.us/img147/8949/invmat.jpg[/img] [/IMG]
Quelques itérations devraient suffire.

[Lemniscate]

Donc ici la méthode de Newton complique le problème !

Quelqu'un sait quand la méthode de Newton se révèle très utile ? voire indispensable ?

[phryte]

Quelqu'un sait quand la méthode de Newton se révèle très utile ? voire indispensable ?

Je dirais : en non linéaire.

[mathelot]

Donc ici la méthode de Newton complique le problème !

Quelqu'un sait quand la méthode de Newton se révèle très utile ? voire indispensable ?

pratiquement toujours. Içi, il s'agit d'un cas d'école.
En pratique, soit les équations sont de degré strictement plus grand que 2,
il n'y a pas véritablement de formule (close ?). En degré 3, pour un polynôme, les formules de Cardan ne sont pas très pratiques; soit les relations sont trancendantes (exemple e^x=3x+4).

Il y a toutefois quelques cas où l'on ne l'utilise pas: quand la formule de f '
est compliquée. on préfère alors la méthode de la fausse position (regula falsi)
ou la méthode des sécantes (cf "calcul infinitésimal" de Dieudonné)

[wuyaosi]

Comment peut-on ecrire un code Scilab ou Matlab ou maple ou fortran,... permettant de resoudre numeriquement le systeme donne en haut ?

D'avance merci de votre aide,


Wuyaosi

[phryte]

Bonjour.
Une solution pour Matlab :

Code: Tout sélectionner

s=solve('x^2+y^2+2*x*y-1,x-y');
s.x
s.y

qui donne :
ans =

[ 1/2]
[ -1/2]


ans =

[ 1/2]
[ -1/2]

[wuyaosi]

Bonjour et merci,
En fait je desire ecrire un programme sous Matlab ou Scilab permetatnt de resoudre numeriquement ce system. Ce que tu m'as donne c'est le calcul direct, j'en sais deja. par contre mon souci est comment ecrire un programme utilsant l'algorithme de Newton :

Merci d'avance !

[phryte]

Bonjour.
Tu aurais dû mettre ton post sur le forum des développeurs à Matlab.
Voila une possibilité :

Code: Tout sélectionner

clear
 syms x y
F = [x.^2 + 2*x*y+y.^2 - 1; x-y];
J = jacobian(F);
x=1;y=0;xy=[x;y];
while abs(eval(sum(F))) > 0.0001   
x = xy(1);
y = xy(2);   
xy = xy - inv(eval(J))*eval(F);
end ;
xy       

Pour les racines 0.01
J=[2*x+2*y 2*y+2*x;1 -1]
F=[x^2+2*x*y+y^2-1;x-y]
xy = xy-inv(J)*F;
x=xy(1);y=xy(2);
end
xy[/CODE]
Avec Maple :

Code: Tout sélectionner

restart:with(linalg,matadd):
x:=1;y:=1;
xy:=matrix([[x],[y]]);
x:=xy[1,1];y:=xy[2,1];
J:=[[2*x+2*y,2*y+2*x],[1,-1]];
F:=[[x^2+2*x*y+y^2],[x-y]];
xy:=evalm(xy-J^(-1)&*F);