Réduction d'endomorphisme

par **didie08** » 31 Oct 2009, 13:59

Bonjour est ce que quelqu'un pourrait m'aider à continuer cet exercice:

Soit P=X^3-X-1
a) Prouver que p n'a qu'une racine réelle r. Que peut on dire des autres racines?
b)Soit A appartient à Mn(R) telle que P(A)=0. Prouver que si r appartient à Sp(A), alors P(r)=0.
c) Indiquer la décomposition sur C du polynome caractéristique de A.

J'ai réussi à faire la premiere question mais je ne vois pas comment faire les autres questions. merci d'avance pour votre aide.

par **Nightmare** » 31 Oct 2009, 14:39

Salut !

En fait il faut juste passer d'un polynôme algébrique à un polynôme d'endomorphisme :

Posons x un vecteur propre pour r, ie Ax=rx.

Alors, P(r)x=(P(A))(x)=0 et du coup P(r)=0

c) comment est définie le polynôme caractéristique d'une matrice?

par **didie08** » 31 Oct 2009, 14:44

le polynome d'une matrice est égale à det(A-XI) mais je ne vois pas comment cela peut nous aider!
je pensais à utiliser le fait que le polynome minimal divise le polynome caractéristique mais aprés je ne sais pas quoi faire!

par **Nightmare** » 31 Oct 2009, 14:49

Les racines du polynôme caractéristique sont donc les valeurs propres de A. Quel rapport avec P ?

par **didie08** » 31 Oct 2009, 14:53

Je sais que P est un polynome annulateur de A car P(A)=0 mais je ne vois pas quel est le rapport avec les valeurs propres de A...

par **Nightmare** » 31 Oct 2009, 15:07

Eh bien la 2) prouve que les valeurs propres de A sont racines de P non?

par **didie08** » 31 Oct 2009, 15:12

oui d'acord de plus les valeurs propres de A sont racines du polynome caractéristique dons est ce que cela veut dire que le polynome caractériqtique est P?

Réduction d'endomorphisme

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