Exercice difficile a mon gout

[Rott]

Bonjour, jai un problème avec un exercice de mathématiques, pourriez vous m'aider à résoudre ce problème :
ABCD est un carré. I et J sont les milieux respectifs des côtés [AD] et [DC].
H est le point d'intersection de [AJ] et [BI]; O est le point d'intersection de [AJ] et [BD].
On note a l'aire du triangle HAI et A l'aire du carré ABCD
On se propose de déterminer la valeur de k=a/A

1/Démontrer que les triangles ABI et HAI sont semblables; puis que : BI/AI= racine de 5
2/En déduire que l'aire du triangle ABD est égale a 10a.
3/Déduire la valeur de k.

Merci de votre aide... Greg

[cancrino]

1. les triangles ABI et ADJ sont isométriques (2 cotes egaux autour d'un angle egal) donc les angles ABI et DAJ sont égaux, et l'angle AIB est commun aux deux triangles, donc les triangles HAI et ABI ont tous leurs angles égaux, donc ils sont semblables
Dans ABI rectangle en A, avec pythagore on trouve BI = V5
donc BI/AI = V5

2. toujours en prenant comme unité AI
?5 est le coefficient de proportionnalité entre les deux triangles semblabes
donc a=HI * HA /2 = AI * AB /(V5*V5*2)= AI * AB/10 = AD/2 * AB/10 = aire(ABD)/10
donc aire(ABD)=10a

3. A=2*aire(ABD)=20a
k=a/A=1/20