Somme d'une fonction de classe C1 ...

[mister-t]

Bonjour à tout le monde . Je rencontre pas mal de difficultés pour montrer cette formule ;

;) f(n) = ;) f(x)dx + ;)(x-E(x))f'(x)dx + (E(v)-v)f(v) - (E(u)-u)f(u) , avec les bornes de chaque intégrale allant de v à u .
J'ai commencé mon raisonnement en calculant ;) xf'(x)dx à l'aide d'une IPP . Je pense qu'il faut calculer ;)E(x) f'(x)dx , mais je ne vois pas comment m'y prendre à cause de la partie entière...
Quelqu'un pourrait-il m'aider? Je vous remercie d'avance pour vos conseils.

[Ericovitchi]

oui il me semble qu'il faut partir de et l'intégrer par partie. On retrouve déjà les deux termes d'après et la seule difficulté est quoi faire avec

[Arkhnor]

Bonjour.

Et la somme, elle va de où à où ?

Bref, l'idée, comme toujours avec les intégrales de partie entière, est d'utiliser la relation de Chasles sur les intégrales en découpant l'intervalle d'intégration en sous-intervalles où la partie entière est constante, c'est à dire des intervalles de la forme , et en s'arrangeant pour les extrémités qui peuvent poser problème si u et v ne sont pas des entiers.

[xyz1975]

Une petite erreur de frappe .
Le problème ne se pose pas si u et v ne sont pas des entiers, la décomposition est toujours valable (si par exemple v n'est pas entier on intègre de E(v) à v).
La question est : quelles sont les valeurs exactes de u et de v?

[Arkhnor]

Si on parle d'intégrale de Riemann au sens propre, on intègre sur des segments, et non des intervalles semi-ouverts. (la relation de Chasles, c'est intégrale sur [a,b] = intégrale sur [a,c] + intégrale sur [c,b])
Pour retomber sur nos pattes, on utilise juste le fait que modifier la valeur de la fonction en un point ne modifie pas son intégrale.

Le problème que j'ai évoqué pour les extrémités est bien celui dont tu parles, il suffit juste d'intégrer de E(v) à v, comme tu le dis.