Solution équation série d'application.

[pgfovatru]

Bonjour,

Je rencontre actuellement un problème sur un exercice.
En effet je dois trouver la solution dans un intervalle donné d'une équation de la forme ;) x^n=1.
J'ai conscience que la solution ne doit pas être très compliqué mais je n'arrive pas à trouver après quelques journées de recherches...

Cordialement

[girdav]

Bonjour.
Quel est l'ensemble des indices de sommation?

[pgfovatru]

l'ensemble est [1,n[ avec n>=1 et l'intervalle de x est [0,1]

[girdav]

On doit résoudre ?
On somme de où à où?

[pgfovatru]

oui sauf que k commence à 1 et pas à 0

[girdav]

Ben on a pour puis on se ramène à la somme des termes d'une suite géométrique.

[pgfovatru]

ca nous fait x((1-x^n+1)/(1-x)) donc on a pour x different de 1 on soit x=0 ou 1-x^n=0 ce qui nous donne x=1

y a pas un probleme? :briques:

[girdav]

On a soit .

[busard_des_roseaux]

.

représentation graphique ?

[pgfovatru]

Je ne vois pas bien ou cela nous mène. J'ai essayé d'étudier cette equation x^n+1+2x+1=0. Je l'ai dérivé et j'arrive à exp(n+1) + 1 = x.
Notre prof nous a proposé de faire une rapide étude de fonctions (;) x^k-1 =0) avec les mêmes paramètres. Mais je ne vois pas bien comment trouver la solution de l'autre équation en faisant cette étude de fonction. De plus que dois-je fixer x ou k?

[mathelot]

ben,

on trace la courbe d'équation
qui ressemble à la courbe d'équation ou
selon la parité de n.

et puis, la droite d'équation y=2x-1.

on "voit" deux solutions (n impair) ou trois solutions (n pair).

[Ericovitchi]

graphiquement les solutions de la famille de fonctions ont l'air de tendre vers 1/2 (pour la solution entre 0 et 1) :

[Ericovitchi]

remarquez c'est assez logique, car quand n tends vers l'infini s'il y a une limite L entre zéro et 1 tends vers zéro donc pour que l'égalité soit respectée il faut bien que 2L-1 tende aussi vers zéro et donc L=1/2

[girdav]

La suite de fonctions converge vers la fonction .

[girdav]

il faut bien que 2L-1 tende aussi vers zéro

Il faut que
On peut d'ailleurs retrouver ça en écrivant pour .
Mais je ne sais pas si pgfovatru veut une solution pour tout ou pas.

[xyz1975]

Je ne vois pas bien ou cela nous mène. J'ai essayé d'étudier cette equation x^n+1+2x+1=0. Je l'ai dérivé et j'arrive à exp(n+1) + 1 = x.
Notre prof nous a proposé de faire une rapide étude de fonctions (;) x^k-1 =0) avec les mêmes paramètres. Mais je ne vois pas bien comment trouver la solution de l'autre équation en faisant cette étude de fonction. De plus que dois-je fixer x ou k?

Je ne sais pas qu'est ce que tu cherche en juste.
La solution de ton équation est en fait une suite numérique, on peut juste montrer son existence et par exemple chercher un équivalent à cette suite mais l'expliciter (j'ai pas beaucoup réfléchi) je pense pas que c'est possible.

girdav : on parle pas de convergence de suite de fonctions!

[girdav]

girdav : on parle pas de convergence de suite de fonctions!

Je sais, c'était pour appuyer l'argument de Ericovitchi.

[mathelot]

Je ne sais pas qu'est ce que tu cherche en juste.

je relis la conversation. c'est exactement ça. On a le sentiment qu'il
manque l'énoncé. Ce qui était demandé, c'était de montrer que
la solution située dans ]0;1[ converge vers
quand n tend vers l'infini.

[pgfovatru]

oui la prmiere question était :

Montrer que l’equation ;) x = 1 pour k allant de 1 à n
admet une unique solution dans l’intervalle [0; 1]. Pour la suite de l’exercice, cette unique solution sera notee an(attention, elle depend de n).

et on avait une indication:

Faire une ´
etude de la fonction
fn : [0; 1] ;) R , x;);) x ;) 1 . Pour kallant de 1 à n

ensuite
question 2:
Montrer que la suite (an) est decroissante et minoree par 1/2.
indication
Pour la decroissance, proceder par l’absurde et pour la minoration, remarquer que fn (1/2) est negatif.

[kazeriahm]

girdav : on parle pas de convergence de suite de fonctions!

Bah si, on en parle

et non la solution de l'equation n'est pas une suite numerique mais un reel

parcontre on peut parler de la suite numerique des solutions de la famille d'equations...