Polynômes, divisibilité

[megane*]

J'ai un problème sur les polynômes et je bloque vraiment alors j'espérais que vous pourriez me donner des pistes.

Soit S un polynôme à coefficients réels et de degré 2, et un entier n2.
Soit f l'application définie sur [X] PAR
f(P)=2P'S-nPS'

J'ai montré que f était un endomorphisme de [X].

On veut déterminer le noyau de f.

On suppose d'abord que S n'admet pas de racines doubles et on note P un polynome non nul appartenant à ker f.


a) Je dois montrer que S divise P, et ce en introduisant les racines a et b de S.

Je me suis dit que je devais montrer que a et b était également racines de P avec un ordre de multiplicité supérieur mais je tourne en rond.
J'ai dit que (X-a)(X-b) divise S, et donc que S=(X-a)(X-b) B ( B un polynome non nul ). Est-ce la bonne méthode et pouvez vous me donner un coup de pouce pour continuer ?

Merci beaucoup !

[Nightmare]

Salut :happy3:

Soit P dans ker(f).

On a donc 2P'S=nPS'

Essaye de montrer que S et S' sont premiers entre eux et conclus !

[megane*]

Je te remercie pour ta réponse !

En fait, on a pas encore introduit la notion de polynômes premiers entre eux dans mon cours alors je suis pas sûre de pouvoir l'utiliser.
Crois-tu que je peux quand même raisonner avec la relation 2P'S=nPS' sans utiliser justement la notion de polynômes premiers ?

Désolée d'être aussi exigeante !

[Nightmare]

Oui on peut faire sans !

Notons a et b les racines de S. Comme S n'a pas de racine double, ni a ni b ne sont racines de S'.

Or (nPS')(a)=(nPS')(b)=0, ie P(a)S'(a)=P(b)S'(b)=0

On en déduit que P(a)=P(b)=0, ie P est divisible par (X-a)(X-b)=S

:happy3: