Matrices

[EliasElie]

Bonjour si quelqu'un peu m'aider je bloque sur une question:

Dans E = R^3 muni de sa base canonique, déterminer les
matrices :
1.
de la symétrie orthogonale par rapport au plan d’équation ax + by + cz = 0.
2.
de la rotation d’angle 2pi/3 , d’axe la droite d’équation
x = y = z .
pour la question 2 il faut utiliser les propriétés géométriques. Merci d'avance

[nuage]

Salut,
pour la question 2.
Que se passe t-il si on fait tourner un cube d'un tiers de tour autour d'une diagonale ?

[EliasElie]

Salut,
pour la question 2.
Que se passe t-il si on fait tourner un cube d'un tiers de tour autour d'une diagonale ?

oui mais je ne trouve pas la matrice je n'arrive pas à faire le rapport avec les matrices

[EliasElie]

Quelqu'un peu me donner une indication s'il vous plaît .

[flight]

pour la question 1 voir le cours sur les projecteurs et symetries , soit U un vecteur de l'espace U(x,y,z) alors sa projection orthogonale sur le plan ax+by+cz=0 est P(U) , U-P(U) est perpendiculaire à P(U) que tu peux appeler
V le vecteur opposé à V est donc -U+P(U) et P(U)+-U+P(U)=2P(U)-U est la symetrie orthogonale de U par rapport au plan .

pour la question 2 , il faudra échafauder un raisonnement qui consiste à trouver à partir d'un vecteur ayant sont origine sur la droite (D) , un autre vecteur obtenu par rotation de 2pi/3 autour de (D) , si tu bloques je t'aiderai .

[EliasElie]

pour la question 1 voir le cours sur les projecteurs et symetries , soit U un vecteur de l'espace U(x,y,z) alors sa projection orthogonale sur le plan ax+by+cz=0 est P(U) , U-P(U) est perpendiculaire à P(U) que tu peux appeler
V le vecteur opposé à V est donc -U+P(U) et P(U)+-U+P(U)=2P(U)-U est la symetrie orthogonale de U par rapport au plan .

pour la question 2 , il faudra échafauder un raisonnement qui consiste à trouver à partir d'un vecteur ayant sont origine sur la droite (D) , un autre vecteur obtenu par rotation de 2pi/3 autour de (D) , si tu bloques je t'aiderai .

je te remercie de ton explication j'ai compris que p(U) est la projection orthogonale dur le plan ici mon U c'est ma base canonique mais je n'est pas compris ce que ça donne en matrices je pense que c'est par ce que je n'est pas encore fait le cour sur les projecteurs et symétries.
par intuition si je ne dit pas de bêtise je fait le produit de ma matrice de la question 1 par la matrice colonne qui est donner par le vecteur ayant origine la droite??

[yos]

Avec (u,v,w) la base canonique et n=(a,b,c) vecteur normal au plan, que tu peux supposer unitaire, tu as pour tout vecteur x, p(x)=x-(x|n)n
donc p(u)=(1-a²,-ab,-ac), p(v)=...

Pour la 2, Nuage t'a dit le truc : dessine le cube construit sur (O,OA,OB,OC) et regarde l'effet de r sur les points A,B,C.

[EliasElie]

Avec (u,v,w) la base canonique et n=(a,b,c) vecteur normal au plan, que tu peux supposer unitaire, tu as pour tout vecteur x, p(x)=x-(x|n)n
donc p(u)=(1-a²,-ab,-ac), p(v)=...

Pour la 2, Nuage t'a dit le truc : dessine le cube construit sur (O,OA,OB,OC) et regarde l'effet de r sur les points A,B,C.

je ne comprend pas comment tu trouve p(x)=x-(x|n)n et
p(u)=(1-a²,-ab,-ac) je suis dsl j'ai vraiment du mal

[yos]

x se décompose en y+z avec y dans P et z orthogonal à P, donc z colinéaire à n donc x=y+tn ensuite tu fais le produit scalaire par n :
(x|n)=(y|n)+t(n|n)=t. En effet (y|n)=0 et (n|n)=1.
Tu as donc
- la composante de x normale au plan : z=(x|n)n
- la composante de x dans le plan : y=x-(x|n)n.

Pour avoir (n|n)=1, j'ai supposé a²+b²+c²=1, ce qui est toujours possible, quitte à remplacer (a,b,c) par un triplet proportionnel.

Pour l'autre égalité, tu sais calculer un produit scalaire : (u|n)=a donc
u-(u|n)n=(1,0,0)-a(a,b,c)=(1-a²,-ab,-ac)

[EliasElie]

x se décompose en y+z avec y dans P et z orthogonal à P, donc z colinéaire à n donc x=y+tn ensuite tu fais le produit scalaire par n :
(x|n)=(y|n)+t(n|n)=t. En effet (y|n)=0 et (n|n)=1.
Tu as donc
- la composante de x normale au plan : z=(x|n)n
- la composante de x dans le plan : y=x-(x|n)n.

Pour avoir (n|n)=1, j'ai supposé a²+b²+c²=1, ce qui est toujours possible, quitte à remplacer (a,b,c) par un triplet proportionnel.

Pour l'autre égalité, tu sais calculer un produit scalaire : (u|n)=a donc
u-(u|n)n=(1,0,0)-a(a,b,c)=(1-a²,-ab,-ac)

c'est peu être bête mais je ne comprend pas ta notation (x|n)

[yos]

(x|n)==x.n

Bref, le produit scalaire de x par n.
Que veux-tu que ce soit d'autre?