DM SUR LES SUITES 1eS

[didi09]

Bonjour, j'ai un exercice sur les suites à rendre pour la rentrée et je ne vois vraiment pas comment faire!! j'ai passé deux semaines dessus mais rien à faire j'y arrive pas :mur: !! Voici le sujet :
Sp=1p+2p+3p+4p+...+np avec n appartient à N*

1) En écrivant les n égalités suivantes :
(1+1)² = 1²+2x1+1
(2+1)² = 2²+2x2+1
(3+1)² = 3²+2x3+1
............................
(i+1)² = i²+2i+1
............................
(n+1)² = n²+2n+1

et en les additionnant, démontrer que : (n+1)² = 2S1+n+1

2) En déduire que : S1 = n(n+1)/2


3) En écrivant les n égalités suivantes : (3=au cube)
(1+1)3 = 1x1x1 + 3x1² + 3x1 +1
(2+1)3 = 2x2x2 + 3x2² + 3x2 +1
(3+1)3 = 3x3x3 + 3x3² + 3x3 + 1
....................................................
(i+1)3 = ix i x i + 3xi² + 3xi + 1
.........................................................................
(n+1)3 = n3 + 3xn² + 3xn + 1

et en les additionnant, démontrer que :
(n+1)3 = 3S2 + 3S1 + n + 1

4) En déduire que : S2 = n(n+1)(2n+1) / 6


5) Sachant que : (4= puissance quatre)
(i+1)4 = i4 + 4xi3(puissance trois) + 6xi² + 4xi +1
calculer de la même façon S3

6) Sachant que : (5=puissance 5)
(i+1)5 = i5 + 5x i4 + 10x i3 + 10x i² + 5x i +1
calculer de la même façon S4


Voilà!!! si vous pouviez m'aider...merci d'avance!!!

[XENSECP]

Tu as réussi à faire la somme et voir comment ça se simplifie ?

[Florélianne]

Bonsoir,

Sp=1^p+2^p+3^p+4^p+...+n^p avec n appartient à N*

1) En écrivant les n égalités suivantes :
(1+1)² = 1²+2x1+1
(2+1)² = 2²+2x2+1
(3+1)² = 3²+2x3+1
............................
(i+1)² = i²+2i+1
............................
(n+1)² = n²+2n+1

et en les additionnant, démontrer que : (n+1)² = 2S1+n+1
1° membre : 2² +3²+...+n²+(n+1)²
2° membre : 1²+2²+...+n² + 2(1+2+...+n)+ n
simplifions ce qui est en rose
(n+1)² = 1² + 2(1+2+...+n)+ n
(n+1)² = 1+2(1+2+...+n) + n
(n+1)² = 2 S1+ n+1 c'est bien ce qu'on demandait...

2) En déduire que : S1 = n(n+1)/2
(n+1)² = 2S1 + n+1 2S1 = (n+1)² - 1(n+1)
2S1= (n+1)[(n+1)-1) 2S1 = (n+1)(n[color=DarkGreen]+[color=Purple]1-1[/color])
2S1 = (n+1)n 2S1 = n(n+1)
S1 = n(n+1)/2[/color]

3) En écrivant les n égalités suivantes : (3=au cube)
(1+1)^3 = 1x1x1 + 3x1² + 3x1 +1
(2+1)^3 = 2x2x2 + 3x2² + 3x2 +1
(3+1)^3 = 3x3x3 + 3x3² + 3x3 + 1
.................................................. ..
(i+1)^3 = ix i x i + 3xi² + 3xi + 1
.................................................. .......................
(n+1)^3 = n^3 + 3xn² + 3xn + 1

et en les additionnant, démontrer que :
(n+1)^3 = 3S2 + 3S1 + n + 1
1° terme : 2^3 + 3^3 +...+n^3+(n+1)^3
2° terme :
1^3 +2^3 +3^3 +... +n^3 + 3(1²+2²+...+n²) + 3(1+2+3+...+n)+n
en simplifiant (orange) il reste :
(n+1)^3 = 1^3 + 3(1²+2²+...+n²)+ 3S1[color=Black]+n[/color]
(n+1)^3 = 3(1²+2²+...+n²)+3S1+n+1
si S2 = 1²+2²+...+n²
alors : (n+1)^3 = 3S2 + 3S1 + n+1 4) En déduire que : S2 = n(n+1)(2n+1) / 63S2 = (n+1)²^3- 3S1 -(n+1)
mais on a vu que S1 = n(n+1)/2
donc 3S2 = (n+1)^3-3n(n+1)/2 -1(n+1)
3S2 = (n+1)[(n+1)² - 3n/2 -1)
3S2 = (n+1)(n²+2n+1-3n/2-1)
3S2 = (n+1)(n² - [color=Magenta]n[/color]/2) 3S2 =n(n+1)[color=Magenta](n-1/2)
S2 = [n(n+1)(2n-1)/2]/3 S2 = n(n+1)(2n-1)/6
[/color]S2 = n(n+1)(2n-1)/6

5) Sachant que :
(i+1)^4 = i^4 + 4i^3 + 6i² + 4i +1
calculer de la même façon S3
1° terme : 2^4 +3^4 +...+n^4 [color=Black]+ (n+1)^4[/color]
2° terme :
1^4 + 2^4 +...+ n^4 + 4(1^3 +2^3 +...+n^3) + 6(1²+2²+...+n²) + 4(1+2+...+n)+ n[indent](n+1)^4 = 1 + 4S3 +6[color=DarkGreen]S2 [color=Black]+ 4 [color=Sienna]S1[color=Black] +n
[/color][/color][/color][/color][/indent]4S3 = (n+1)^4 - 6S2 - 4S1-(n+1)
4S3 = (n+1)^4 - 6n(n+1)(2n-1)/6 -4n(n+1)/2 -(n+1)
4S3 = (n+1)[[color=Black](n+1)^3 -n(2n-1)-2n-1]
4S3 = (n+1)(n^3 +n² +2n)
4S3 = n(n+1)(n²+n+2)
S3 = n(n+1)(n²+n+2)/4

je ne suis pas certaine du résultat... je suis trop lasse, il est trop tard ! l'écran se brouille
Mais tu dois avoir compris comment ça marche et pouvoir vérifier celui-là et faire le dernier...
[/color]

6) Sachant que : (5=puissance 5)
(i+1)5 = i5 + 5x i4 + 10x i3 + 10x i² + 5x i +1
calculer de la même façon S4

Bon travail, meilleurs voeux pour 2009

[valentin.b]

Bonsoir,
Y'a plus d'une personne qui aimerait bien qu'on leur explique les choses aussi bien que ça. ^^

[didi09]

Merci beaucoup Florélianne mais pourrais-tu me dire d'où viennent les 1° et 2° termes parce que je ne suis pas sur d'avoir vraiment compris!! merci et bonne année!!