Fonction x² et dérivées

[park89]

Bonsoir,

J'ai un souci avec mon Dm, voici l'énoncé :

Soit P la parabole d'équation y=kx² (k réel non nul) dans un repère orthonormal (O, i, j ).
On appelle A et B deux points distincts de P d'abscisse respective a et b.
a) Déterminer les cordonnées de A,B et I milieu de [AB] (Réussi je pense)
b)Soit J le point d'intersection des deux tangentes en A et en B.
Montrer que le point I à la même abscisse que le point J. (souci)
c)Prouver que le milieu M de [IJ] appartient à P. (Pour ça faut déja connaître les coordonnées de J)
d)Montrer que la tangente en M à P est parallèle à la droite (AB) (Pour ça faut déja avoir M ...)

Pour résumer, mon problème est que j'arrive pas à déterminer les coordonnées de J.

Résultats au a) :
T(h) = 2a+h ( 2b+h dans le cas de B)

lim T(h) = 2a ( 2b dans le cas de B)
h>0

Donc f'(a) = 2a et f'(b)=2b

A(a;2a) B(b;2b)

I=mil[AB]
I( (a+b)/2 ; a+b )

[Florélianne]

Bonsoir,
Soit P la parabole d'équation y=kx² (k réel non nul) dans un repère orthonormal (O, i*, j* ).
On appelle A et B deux points distincts de P d'abscisse respective a et b.
a) Déterminer les cordonnées de A,B et I milieu de [AB] (Réussi je pense)
A(a ; ka²) B(b ; kb²) I[ (a+b)/2 ; k(a²+b²)/2]
b)Soit J le point d'intersection des deux tangentes en A et en B.
Montrer que le point I à la même abscisse
que le point J. (souci)
si f(x) = kx² alors f '(x) = 2kx
une équation de la tangente à P en A :
y= 2ka(x -a)+ka² y = 2kax -2ka²+ka²
y = 2kax -ka²
de même une équation de la tangente à P en B est :
y = 2kbx -kb²
Le point d'intersection des deux tangentes a ses coordonnées qui vérifient :
y = 2kax -ka²
y = 2kbx -kb² ou 2kax-ka²=2kbx -kb²
2kax-2kbx=ka²-kb² x(2ka-2kb)= k(a²-b²)
2k(a-b)x= k(a+b)(a-b) si A différent de B
x= (a+b)/2
donc l'abscisse de J est la même que celle de I

c)Prouver que le milieu M de [IJ] appartient à P.
donc xj = (a+b)/2
yj = 2ka(a+b)/2 - ka² yj=ka(a+b-a)
yj= kab

(Pour ça faut déja connaître les coordonnées de J)
Comme I et J on la même abcisse xm=xi=xj = (a+b)/2
ym= [k(a²+b²)/2+kab]/2 = (ka²+kb²+2kab)/4
ym = k(a²+2ab+b²)/4 = k(a+b)²/4
ym= kxm² M est sur P

d)Montrer que la tangente en M à P est parallèle à la droite (AB) (Pour ça faut déja avoir M ...)
le coefficient directeur de la tangente en M à P est
f '[(a+b)/2] = 2k(a+b)/2 = k(a+b)
équation de la droite (AB) : y = zx+t
A est sur (AB) donc ka²=za+t
B est sur (AB) donc kb²=zb +t
donc ka²-kb²=za-zb z(a-b) = k(a²-b²)
z(a-b) = k(a-b)(a+b) z= k(a+b)
donc le coefficient directeur de (AB) est le même que celui de la tangente en M à P
donc la tangente en M à P est parallèle à (AB)

Pour résumer, mon problème est que j'arrive pas à déterminer les coordonnées de J.

Résultats au a) :
T(h) = 2a+h ( 2b+h dans le cas de B)

lim T(h) = 2a ( 2b dans le cas de B)
h>0

Donc f'(a) = 2ka et f'(b)=2kb

A(a;2a) B(b;2b)

I=mil[AB]
I( (a+b)/2 ; a+b )faux
[color=Black]Très cordialement[/color]

[Clembou]

Bonsoir,
Soit P la parabole d'équation y=kx² (k réel non nul) dans un repère orthonormal (O, i*, j* ).
On appelle A et B deux points distincts de P d'abscisse respective a et b.
a) Déterminer les cordonnées de A,B et I milieu de [AB] (Réussi je pense)
A(a ; ka²) B(b ; kb²) I[ (a+b)/2 ; k(a²+b²)/2]
b)Soit J le point d'intersection des deux tangentes en A et en B.
Montrer que le point I à la même abscisse
que le point J. (souci)
si f(x) = kx² alors f '(x) = 2kx
une équation de la tangente à P en A :
y= 2ka(x -a)+ka² y = 2kax -2ka²+ka²
y = 2kax -ka²
de même une équation de la tangente à P en B est :
y = 2kbx -kb²
Le point d'intersection des deux tangentes a ses coordonnées qui vérifient :
y = 2kax -ka²
y = 2kbx -kb² ou 2kax-ka²=2kbx -kb²
2kax-2kbx=ka²-kb² x(2ka-2kb)= k(a²-b²)
2k(a-b)x= k(a+b)(a-b) si A différent de B
x= (a+b)/2
donc l'abscisse de J est la même que celle de I

c)Prouver que le milieu M de [IJ] appartient à P.
donc xj = (a+b)/2
yj = 2ka(a+b)/2 - ka² yj=ka(a+b-a)
yj= kab

(Pour ça faut déja connaître les coordonnées de J)
Comme I et J on la même abcisse xm=xi=xj = (a+b)/2
ym= [k(a²+b²)/2+kab]/2 = (ka²+kb²+2kab)/4
ym = k(a²+2ab+b²)/4 = k(a+b)²/4
ym= kxm² M est sur P

d)Montrer que la tangente en M à P est parallèle à la droite (AB) (Pour ça faut déja avoir M ...)
le coefficient directeur de la tangente en M à P est
f '[(a+b)/2] = 2k(a+b)/2 = k(a+b)
équation de la droite (AB) : y = zx+t
A est sur (AB) donc ka²=za+t
B est sur (AB) donc kb²=zb +t
donc ka²-kb²=za-zb z(a-b) = k(a²-b²)
z(a-b) = k(a-b)(a+b) z= k(a+b)
donc le coefficient directeur de (AB) est le même que celui de la tangente en M à P
donc la tangente en M à P est parallèle à (AB)

Pour résumer, mon problème est que j'arrive pas à déterminer les coordonnées de J.

Résultats au a) :
T(h) = 2a+h ( 2b+h dans le cas de B)

lim T(h) = 2a ( 2b dans le cas de B)
h>0

Donc f'(a) = 2ka et f'(b)=2kb

A(a;2a) B(b;2b)

I=mil[AB]
I( (a+b)/2 ; a+b )faux
[color=Black]Très cordialement[/color]

Je rêve ou c'est exactement les réponses qu'il avait demandé ??? :hein:

EDIT : Ah non ! Ok ! J'avais pas vu qu'il devait encore complété. :id: