Exercice de mathématiques

[Bouroumihak]

Bonsoir tout le monde,

En faisant quelque exercices de maths, j'ai eu du mal à trouver la clé pour commencer celui là :

L'énoncé dit :

a, b et c sont trois nombres réels strictement positifs.

1. Montrer que : (a+b)(b+c)(a+c)>ou=8abc :triste:

2. Montrer que : 1/a + 1/b + 1/c >ou=9 sachant que a+b+c=1

3. Montrer que : ab/a+b + bc/b+c + ac/a+c
Ce que je veux n'est pas la solution, mais juste la clé pour le commencer :++:

Voilà. Merci pour votre aide !

[j_e]

Bah ... Commence par développer ...

Pour le 1 : ( ) . ( ) . ( ) = [ ( ) . ( ) ] . ( ) = [ ] . ( ) = ...

Pour le 2 : réduis au même dénominateur et vois ce qui se passe ...

Pareil pour le 3 : réduis au même dénom ...

Pour ces exercices, ya pas d'avance, il faut écrire les choses ... prendre le temps de les écrire.

Bon travail !

[maturin]

pour le 1 si tu développes tu vas faire apparaitre du 2abc qui avec les 8abc de l'autre côté donnent -6abc

donc là faut faire apparaître des -abc et des trucs qui annulent les autres termes genre a²c

Je te propose de calculer (a-b)²c
et de faire pareil en permuttant les a,b,c.
C'est du pif mais ça a l'air de marcher.

[Bouroumihak]

Bonsoir,

En fait, c'est ce que j'ai fait pour la question numéro 1, mais sa marche pas :triste: !

Pour les autres questions c'est bien !

Merci quand meme !

[Sa Majesté]

Bonsoir,
Si ça marche !
Qu'obtiens-tu quand tu développes (a+b)(b+c)(a+c) ?

[Bouroumihak]

Alors quand je développe sa donne :

a²b+a²c+b²a+b²c+c²a+c²b>ou=6abc

Mais d'ici je ne sais pas comment faire parraitre le 8abc :help:

[Sa Majesté]

Quand tu développes (a+b)(b+c)(a+c)
tu obtiens a²b+a²c+b²a+b²c+c²a+c²b+2abc et tu dois montrer que c'est > 8abc
Ce qui revient à montrer que a²b+a²c+b²a+b²c+c²a+c²b-6abc > 0
Utilise l'aide de maturin

[Bouroumihak]

En cherchant, je viens de trouver dans un site ceci :

(b + c)²(c + a)²(a + b)²;) 4bc4ca4ab = 8²a²b²c²

==> (b + c)(c + a)(a + b) ;) 8abc

Je sais pas comment ils ont fait pour dire que 4bc4ca4ab = 8²a²b²c² ! :look2:

Quelqu'un pourrait expliquer ?

[Bouroumihak]

Salut tout le monde,

J'ai trouvé l'astuce. Il suffit de montrer que chacun des trois termes (a+b), (b+c) et (c+a) est supérieur à quelque chose, puis de multiplier membre à membre les trois inégalités ainsi obtenues.

On a: (a+b)²>4ab car la différence (a+b)²-4ab=(a-b)² est nécessairement positive ou nulle. D'où, en introduisant les racines carrés:

(a+b)>=2 (1)

Pour les deux autres termes, on aura de même:

(b+c)>=2 (2), et

(c+a)>=2 (3)

Donc, en multipliant membre à membre les trois inégalités (1), (2) et (3) on obtient:

(a+b)(b+c)(c+a)>=2x2x2, c-à-d: (a+b)(b+c)(c+a)>=8abc

C.Q.F.D

Merci pour l'aide :++:

[maturin]

oui enfin mon truc marchait aussi
(a-b)²c+(a-c)²b+(b-c)²a=a²c+a²b+b²a+b²c+c²a+c²b-6abc
ce qui était le truc à trouver.

Mais ton astuce aussi est bonne.