Continuité uniforme

[laclic]

Bonjour à tous,

J' ai besoin d'aide pour demontrer qu'une somme de 2 fontions uniformement continues est uniformement continue

[Joker62]

On prend des epsilons et on travaille avec...
On majore bien en faisant apparaître les termes qui nous sont utiles et tout découle tout seul logiquement :^)

[L.A.]

Bonjour.

Soient f1 et f2 : I -> R uniformément continues et soit e>0.
il existe d1 et d2 >0 tel que pour tous x,y dans I

|x-y| |f1(x) - f1(y)| |f2(x) - f2(y)|<e/2

remarquons que

|(f1+f2)(x) - (f1+f2)(y)| < |f1(x) - f1(y)| + |f2(x) - f2(y)|

...

[diamond]

bonjour,
je bien compris ta demo,mais moi j'ai un autre probleme du meme ordre
comment montrer que g°f est uniformement continue si f et g sont uniformement continue
Merci d'avance

[leon1789]

bonjour,
je bien compris ta demo,mais moi j'ai un autre probleme du meme ordre
comment montrer que g°f est uniformement continue si f et g sont uniformement continue
Merci d'avance

En reprenant les mêmes notations que L.A., le e de l'un ressemble au d de l'autre...

[L.A.]

Ouais :

Soient f1 : I -> J et f2 : J -> R uniformément continues et soit e>0.
il existe d2 > 0 tel que pour tous x',y' dans J
|x'-y'| |f2(x') - f2(y')|
mais alors, il existe d1 > 0 tel que pour tous x,y dans I :
|x-y| |f1(x) - f1(y)|
...

x,y très proches => f1(x),f1(y) très proches => f2(f1(x)),f2(f1(y)) proches aussi.