Titre non conforme

[SoOsoOps]

j'ai un repechage en math et je ne comprend pas comment trouver les zéros d'une fonction en factorisant et en utilisant la règle du produit nul (règle que je ne comprends pas non plus. Pourriez vous m'aider ? Pour que cela soit plus facile je vous donne un exemple d'un de mes exercices :
y=x^3-4x^2+x+6

Aidez moi vite svp

[Fanatic]

Alors, factoriser une expression algébrique c'est soit identifier un facteur commun (un facteur apparaissant à l'identique dans chacun des termes, cela peut être un nombre, une lettre, un nombre et une lettre, une parenthèse, une combinaison de tout ça) et mettre cette expression en facteur, réduire le second facteur, factoriser au maximum en un produit de facteurs de degré si possible ; soit utiliser les identités remarquables ; soit un facteur commun et identité... ; soit démarrer par une factorisation partielle pour faire apparaitre un facteur commun ou une identité connu ; soit faire une petite pirouette algébrique en ajoutant et supprimant un terme pour faire apparaitre un facteur commun ou identité...
Ici, pour factoriser un polynôme de degré il faut soit utiliser une identité remarquable de degré : ou , soit déterminer une racine (un zéro) évidente du polynôme en testant les valeurs puis factoriser ce polynôme avec le binôme contenant cette racine évidente. En effet si est une racine de de degré alors divise c'est à dire que s'écrit avec un polynome de degré . Ici on aura . On détermine les coefficients du trinôme soit par identification des coefficients des même puissances de et résolution d'un système en soit par division de polynôme (vu en BAC+1, très rapide). Pour factoriser ensuite le trinôme on utilise soit la 1ère ou 2ème Identité remarquable vu en 3ème : ou , soit on détermine les racines avec le discriminant du trinôme.
Ce qu'il faut comprendre, c'est que factoriser un polynôme du 3ème degré comme ça, ce n'est pas évident, on factorise le polynôme grâce à ses racines.
Pour ton polynôme on a :
est une racine évidente de donc s'écrit . On détermine les coefficients du polynôme, on obtient . Donc :

Les racines du trinôme sont déterminées grâce au discriminant et on factorise ce trinôme avec ses racines (rappel : si et sont les racines du trinôme alors ce trinôme se factorise en ) donc :

Ainsi sont les racines (simples) du polynôme permettant de le factoriser en un produit de facteurs du 1er degré.
CQFD.

Rappel : une équation produit nulle est de la forme (cf. niveau de 3ème) :
.
On résoud cette équation (détermination des racines du polynôme, terme de gauche) grâce à la propriété suivante ; "un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un des facteurs est nul". Traduction mathématique :

Donc .
.

PS : c'est du boulot de taper tout ça, j'espère que tu apprécies. Alors entraine toi, apprends ton cours et fais des exos...

j'ai un repechage en math et je ne comprend pas comment trouver les zéros d'une fonction en factorisant et en utilisant la règle du produit nul (règle que je ne comprends pas non plus. Pourriez vous m'aider ? Pour que cela soit plus facile je vous donne un exemple d'un de mes exercices :
y=x^3-4x^2+x+6

Aidez moi vite svp

[Fanatic]

Alors, factoriser une expression algébrique c'est soit identifier un facteur commun (un facteur apparaissant à l'identique dans chacun des termes, cela peut être un nombre, une lettre, un nombre et une lettre, une parenthèse, une combinaison de tout ça) et mettre cette expression en facteur, réduire le second facteur, factoriser au maximum en un produit de facteurs de degré si possible ; soit utiliser les identités remarquables ; soit un facteur commun et identité... ; soit démarrer par une factorisation partielle pour faire apparaitre un facteur commun ou une identité connu ; soit faire une petite pirouette algébrique en ajoutant et supprimant un terme pour faire apparaitre un facteur commun ou identité...
Ici, pour factoriser un polynôme de degré il faut soit utiliser une identité remarquable de degré : ou , soit déterminer une racine (un zéro) évidente du polynôme en testant les valeurs puis factoriser ce polynôme avec le binôme contenant cette racine évidente. En effet si est une racine de de degré alors divise c'est à dire que s'écrit avec un polynome de degré . Ici on aura . On détermine les coefficients du trinôme soit par identification des coefficients des même puissances de et résolution d'un système en soit par division de polynôme (vu en BAC+1, très rapide). Pour factoriser ensuite le trinôme on utilise soit la 1ère ou 2ème Identité remarquable vu en 3ème : ou , soit on détermine les racines avec le discriminant du trinôme.
Ce qu'il faut comprendre, c'est que factoriser un polynôme du 3ème degré comme ça, ce n'est pas évident, on factorise le polynôme grâce à ses racines.
Pour ton polynôme on a :
est une racine évidente de donc s'écrit . On détermine les coefficients du polynôme, on obtient . Donc :

Les racines du trinôme sont déterminées grâce au discriminant et on factorise ce trinôme avec ses racines (rappel : si et sont les racines du trinôme alors ce trinôme se factorise en ) donc :

Ainsi sont les racines (simples) du polynôme permettant de le factoriser en un produit de facteurs du 1er degré.
CQFD.

Rappel : une équation produit nulle est de la forme (cf. niveau de 3ème) :
.
On résoud cette équation (détermination des racines du polynôme, terme de gauche) grâce à la propriété suivante ; "un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un des facteurs est nul". Traduction mathématique :

Donc .
.

PS : c'est du boulot de taper tout ça, j'espère que tu apprécies. Alors entraine toi, apprends ton cours et fais des exos...

j'ai un repechage en math et je ne comprend pas comment trouver les zéros d'une fonction en factorisant et en utilisant la règle du produit nul (règle que je ne comprends pas non plus. Pourriez vous m'aider ? Pour que cela soit plus facile je vous donne un exemple d'un de mes exercices :
y=x^3-4x^2+x+6

Aidez moi vite svp

[Fanatic]

Il aurai fallu poster cette discussion dans le forum "lycée"...

[oscar]

Bonsoir
p(x) = x³ - 4x² + x +6

Methode des diviseurs

Les racines si elles existent sont des diviseurs de 6
soit {-1:1:-2:2:-3:3: -6:-6}
On calcule P(-1) = -1 -4 -1 +6 =0 => -1 diviseur
P( 1) = 1 -4 +1 +6 # 0
P( -2) = -8 -16 -2 +6 # 0
P( 2) = 8 -16 +2 +6=0 => 2 diviseur => 3 diviseur

=> P(x) = ( x+1)(x-2) (x-3)

ILes racines sont donc -1; 2 et 3 Ce sont les ZEROS de P(x)