Calcul de taux

[aiecaramba]

Bonjour à tous et merci à tous ceux qui pourront se pencher sur ma question.
J'ai une équation initiale :
[CENTER] C x (T/12) x [1 + (T/12)]^N
M=------------------------------------------
[[1 + (T/12)]^N ]- 1[/CENTER]


en ligne ça donne :

M = (C x (T/12) x [1 + (T/12)]^N ) / ([[1 + (T/12)]^N ]- 1)

En gros, en fonction de cette équation, je souhaiterai trouver T en fonction de toutes les autres variables ! (N, C et M).

Je vous en remercie d'avance ! 'suis pas assez forte pour résoudre ce type d'équation, j'aime pas les puissance de N.
Merci à tous et bonne soirée !

[Galt]

L'équation s'écrit soit . Malheureusement, cette chose est une équation polynomiale de haut degré, donc il n'est pas possible de déterminer les solutions de manière exacte. On peut envisager des valeurs approchée si on sait que T est petit (de l'ordre de quelques %)
Est-ce le cas ?

[aiecaramba]

T représente un taux. Il est donc compris entre 0 et 100% normalement.
Donc, oui, je pense qu'on peut considérer qu'il est petit.
C est le montant du crédit, il êut donc être très élevé
M représente la mensualité à payer
N est le nombre de période sur lesquelles on souhaite rembourser le crédit (12 mois, 24 mois, 36 mois...)

Je te remercie de ton aide !
A bientôt !

[Chimerade]

Vu comme ça, ce n'est pas évident à manipuler ! Je propose de poser d'abord :



Et ensuite de diviser numérateur et dénominateur par :



Effectivement, cette équation est du N-ième degré. Pour un crédit banal, sur vingt ans, ça fait 240 mois ! L'équation est du 240-ième degré en . Bon ! Pas la peine de se fatiguer. Il n'y a pas de solution directe...

Mais c'est un grand classique des actuaires...Et ils ont trouvé la parade.

On peut écrire l'équation de la manière suivante :




Dans ce jeu à 4 variables, C, N, M et , c'est un jeu d'enfant de trouver C, ou N, ou M si l'on connaît les trois autres variables. Seule l'équation en pose problème. Le moyen de calculer est de définir une suite , , ,...par :
une première approximation de
...puis :

La suite converge très rapidement ! D'autant plus rapidement que N est grand. Pour un prêt de 240 mensualités, en moins de dix itérations on constate que avec une excellente précision. S'il s'agit d'un prêt plus court, 24 ou 36 mois par exemple, il faut itérer plus longtemps, mais ce n'est jamais très long.

Le tout est de bien choisir car si on s'éloigne trop de la solution, la suite peut diverger. Dans la pratique, je m'en suis toujours tiré en partant d'une valeur pifométrique : 0.01 pour les prêts à court terme, 0.005 pour les prêts à long terme...

[aiecaramba]

Je vais tester ça sur Excel.
Je vous tiens au courant !
Merci beaucuoup, vraiment ! :ptdr:

[aiecaramba]

RE,

Je viens de tester ta solution sur Excel.
Mais ça ne marche pas :

Faisons avec des chiffres :
Montant du crédit : 12000
Mensualité : 365
Nombre de périodes : 24

Pour N=0, posons T/12 = 0.10
Pour N=1, T/12 = =(365*(1-(1+0,10)^-24))/12000 = 0.03
Et plus on a de période plus le taux diminue !
Pourquoi ?

Normalement, on devrait trouver un taux de 6% environ....

[aiecaramba]

Personne ne peut m'aider ?

[Anonyme]

Hello,

Vu ce qui a deja ete dit (impossibilite de trouver une formule exacte pour le probleme pose), pourquoi ne pas tout simplement utiliser les outils qu'Excel propose ??

Je pense a la fonction "valeur cible", ou au plus puissant "solveur" (macro complementaire a installer) ?

Ca serait plus simple, je pense, non ?

Bonne soiree.

[Chimerade]

RE,

Je viens de tester ta solution sur Excel.
Mais ça ne marche pas :

Faisons avec des chiffres :
Montant du crédit : 12000
Mensualité : 365
Nombre de périodes : 24

Pour N=0, posons T/12 = 0.10
Pour N=1, T/12 = =(365*(1-(1+0,10)^-24))/12000 = 0.03
Et plus on a de période plus le taux diminue !
Pourquoi ?

Normalement, on devrait trouver un taux de 6% environ....

Il semble que tu n'aies pas compris, mais c'est un peu ma faute. Quand j'écris , le n est une variable courante qui n'a rien à voir avec le N de l'équation ! De toutes façons, tu gardes le même N. Et, pour éviter les confusions, je te dis de calculer :

une première approximation de
...puis :


Ce qui signifie simplement de calculer une valeur à l'aide de la valeur précédente , mais le N ne bouge pas. Dans ton exemple il est égal à 24.

Par ailleurs, la valeur de départ me paraît fantaisiste. Si tu vises environ 6% l'an, ça fait 1.06 l'an donc pour le mois soit environ 0,00486755... J'ai dit qu'il fallait que la première approximation ne soit pas trop éloignée du résultat final car il y a risque de divergence. Donc, si tu approximes 6% l'an par (6/12)% le mois, soit 0,5% le mois, c'est relativement acceptable (par rapport à 0,486755%, ça peut aller). Mais prendre (T/12)=0.10 c'est complètement délirant. 10% par mois, ça fait du 213% l'an !!!! Aucune chance que ça converge !

[Chimerade]

Attends, il faut être sérieux ! Désolé, ma méthode ne marche pas pour les intérêts négatifs !

Tu empruntes 12000 et tu rembourses en 24 mensualités de 365 ! Cela ne suffit même pas pour un prêt à intérêt nul, car 24*365 = 8760 ! Donne-moi vite l'adresse de ton banquier ! Il m'intéresse beaucoup. Avec lui, il n'y a aucun intérêt et en plus ce n'est même pas la peine de rembourser tout le capital ! Chez moi, un taux de 0% donne lieu à 24 remboursements de 500 par mois. Et un taux de 6% l'an, soit % le mois, donne lieu à un remboursement de 530.99 par mois. Inversement, en partant de 12000 à rembourser en 24 mensualités de 530,99, en partant de , on obtient :

On part de













...

...



On a donc six digits au bout de 110 itérations.

Et ceci en appliquant strictement la formule que je t'ai donnée :



et ceci jusqu'à :


J'ai fait un autre essai avec un capital de 100000, 240 mensualités de 602.22. Dans ce cas, ça converge plus rapidement :

On part de










...




Finalement, cela prend un peu plus d'itérations que je croyais. La raison en est simple : cela dépend du taux. A l'époque où j'ai fait ce calcul pour la dernière fois, les taux étaient de l'ordre de 14% l'an. Un nouvel essai dont je te fais grâce ici, me donne 7 chiffres exacts pour le taux au bout de seulement 9 itérations. J'en déduis, que si le taux est faible, la convergence est plus lente... Mais je ne l'ai pas démontré !

[aiecaramba]

Attends, il faut être sérieux ! Désolé, ma méthode ne marche pas pour les intérêts négatifs !

Tu empruntes 12000 et tu rembourses en 24 mensualités de 365 ! Cela ne suffit même pas pour un prêt à intérêt nul, car 24*365 = 8760 ! Donne-moi vite l'adresse de ton banquier ! Il m'intéresse beaucoup.

Bonjour Chimerade,
Tu as raison mon exemple était mal choisi !
En fait, pour un prêt de 12000€, sur 24 mois à un taux de 3%, les mensualités sont d'environ 520€.
C'est vrai que j'avais mal choisi mon exemple !

Bref, je déduis de tout ça que c'est presque impossible ! En tout cas, ça ne coule pas de source !
Je vous remercie de votre aide en tout cas !
A plus.

[aiecaramba]

Hello,

Vu ce qui a deja ete dit (impossibilite de trouver une formule exacte pour le probleme pose), pourquoi ne pas tout simplement utiliser les outils qu'Excel propose ??

Je pense a la fonction "valeur cible", ou au plus puissant "solveur" (macro complementaire a installer) ?

Ca serait plus simple, je pense, non ?

Bonne soiree.

C'est vrai, je n'y avait pas pensé !
Je vais essayé tiens mais je ne m'en suis servie qu'une fois !
Je vais essayé !
Merci !

[aiecaramba]

On part de













...

...



On a donc six digits au bout de 110 itérations.

Ca y est, j'ai compris !
Je te remercie de ta réponse, c'est vraiment sympa en tout cas d'avoir pris tant de temps pour me répondre ! :zen:
A bientôt.