Problème de CAUCHY (équations différentielles)

[Bill BM]

J'arriv pa à le fair:

On considère le problème de Cauchy suivant :

X' =f(t,x), (t,x) ;) ;) dans Rn+1 un ouvert où f vérifie les hypothèses suivantes :
f est une fonction continue sur son domaine ;
||f(t,x)|| ;) M(T) ||x|| + L(T), pour tout T>0, avec M(T) et L(T) des constantes positives.

Montrer l’existence globale de ce problème de Cauchy.

[primeshu]

Après le lemme de Grönwall, on sais que le solution est toujour majoré par une fonction. Donc il ne peut pas devenir explosion. c-a-d, l’existence globale.

[Bill BM]

En effet on a, d’après ce lemme ||x(t)|| ;) ||u(to)|| exp ( M |t-to| ) + Cste ; mai je ne compren pa en koi cela entraine l’existence globale du PB. En effet, je n’arrive toujours pas à saisir les conditions d’existence globale

[primeshu]

Je suis désolé de mal expliquer. Vous allez déjà presque gagner.

Peut-être, vous connaissez pas le proposition suivant:
Si X(t) est la solution maximale défini en ]a,b[, b est fini. donc pour tout K compact dans , X(t) va sortir de K si t est tres proche b. Le même pour a,si a est fini.

Pour ce problème, s'il n'exsite pas le solution globale, ie X(t) défini en ]a,b[ avec b est fini(ou a). on sait que X(t) est majoré par ||u(to)|| exp ( M |t-to| ) + Cste, Donc on a, pour tout t [to, b[
+Cste=Cste'.
C'est contaire a la proposition.