Recurrence...

[LiLi75]

Bonjour, voici mon probleme : soit les suites réelles ou complexes vérifiant la relation Un=Un-1 - Un-2 (définie par U0 et U1 donnés).

Je dois démontrer qu'il existe deux constantes a et b (bien déterminées) telles que Un= a(r1^n)+b(r2^n)
r1 et r2 sont des constantes que j'ai déterminé précedemment, on a r1=(1-iV3)/2 et r2=(1+iV3)/2.

Le problème est que je ne sais pas d'où partir pour montrer que a et b sont toujours les mêmes par récurrence. Ca serait gentil de m'aider. Merci d'avance :)

[danskala]

salut LiLi75,

que valent U0 et U1 ?

[LiLi75]

les valeurs de u0 et u1 ne sont pas données... ça doit servir a initialisé la propriété de récurrence je pense...

[Yahoo [Bot]]

pas de recurrence:
avec tes notations on a r1r2=1 et r1+r2=1
d'ou Un- (r1+r2)Un-1 +(r1r2)Un-2 = 0
soit (Un - r1Un-1) = r2(Un-1 -r1Un-2)
ie (Un-r1Un-1) est une suite geometrique de raison r2
et on a donc (Un-r1Un-1) = (U1-r1U0)*r2^(n-1) (egalite 1)

on fait pareil pr r2 et on obtient (Un-r2Un-1)=(U1-r2U0)*r1^(n-1) (egalite 2)
en soustrayant la 2eme egalite a la 1ere on obtient
Un-1(r1-r2)=(U1-r2U0)*r1^(n-1) - (U1-r1U0)*r2^(n-1)

on obtient bien Un=a(r1^n)+b(r2^n)
avec a=(U1-r2U0)/(r1-r2)
et b=(U1-r1U0)/(r1-r2)

stou

[LiLi75]

Merci beaucoup pour les explications! Mais à la fin en fait tu trouves le résultat pour Un-1, est ce qu'on peut directement l'élever au rang n pour avoir Un?

[Yahoo [Bot]]

bah oui le resultat vaut pr tout n-1 donc pr n aussi