Médiane perpendiculaire

[tomtom33]

Bonjour, j'ai un problème que je n'arrive pas à résoudre.

Dans un triangle ABC quelconque, I milieu de [AB] et J milieu de [AC].

Prouvez que les médianes issues de B et C sont perpendiculiaire si et seulement si 5 BC² = AB² + AC²


Merci :zen:

[chan79]

salut
Pythagore dans BCG
G étant le centre de gravité
puis
vec(BG)=2/3 vec(BJ) =2/3(1/2(vec(BA)+vec(BC)))

[tomtom33]

ok merci beaucoup. Je n'arrive toujours pas à comprendre comment faire.

[BC² = BG² + GC²] Cela ne prouve rien. :cry:

Merci de ton aide

[chan79]

Bonjour
vec(BG)=2/3 vec(BJ) =2/3(1/2(vec(BA)+vec(BC))) =1/3 (vec(BA)+vec(BC))
vec(CG)=2/3 vec(CI) =2/3(1/2(vec(CA)+vec(CB))) = ...

BG²=vec(BG).vec(BG)
CG²= ...
tu remplaces dans BC²=BG²+CG²
ça mène au résultat

[saintlouis]

bonjour

On applique le théorème de la mediane au triangle ABC; Bk étant la médiane relative à AC
Désignons[ BC] par a;AB] par c et [ AC]par b

b² +a²= 2BK² - b²/2 ou BK²=1/2(a²+b²)+b²/4 (1)
Or BG=2/3 BK=> BG² = 4/9 BK²
On remplace dans (1)=> BG²=.2(a²+c²)/9. -b²/9
De m^ CG² = .........................2(a²+b²) -c²/9
On additionne les deux égalités ; on remplace b²+c²par 5a²(hypothèse)
On fémontre ainsi que BCG est rectangle en G

[tomtom33]

ok.

BC² = 1/3 (vec(BA)+vec(bc)) X 1/3 (vec(CB)+vec(CA))
= 1/3 (vec(BA)+vec(CA))

Cela prouve que les médianes sont perpendiculaires? :k2k:

[tomtom33]

Désoler, je n'y arrive pas... :triste:

[chan79]

il y a une flèche à rajouter

[tomtom33]

Je trouve bien BC² = 1/9 (vec(BA)+vec(CA))²
Cela ne prouve rien , ou alors je ne comprend pas :hum:

[chan79]

tu écris BC²=BG²+CG²
et tu raisonnes par équivalences en remplaçant BG² et CG² comme c'est indiqué plus haut

[tomtom33]

oui je comprend bien mais je trouve le résultat de BC². Cela ne prouve pas que BG et CG sont perpendiculaire.

[tomtom33]

chan, je vais être obligé de te démande de m'explique un petit peu plus la solution. merci :mur:

[chan79]

(BG) et (CG) sont perpendiculaires c'est équivalent à
BC²=BG²+CG² (propriété de Pythagore)

[tomtom33]

justement il faut prouver quelles sont perpendiculaire, je ne peux donc pas utiliser le théorème...

[chan79]

si elles sont perpendiculaires, l'égalité est vraie
si l'égalité est vraie, les droites sont perpendiculaires
Démontrer l'un, c'est démontrer l'autre

[tomtom33]

ok, donc je fais ceci :

BC²=BG²+CG²
et j'arrive à cela :
BC² = 1/9 (vec(BA)+vec(CA))²

Que dois-je faire ensuite?

[chan79]

tu laisses BC² et tu remplaces BG² et CG² comme indiqué plus haut

[tomtom33]

désoler je suis nul je ne comprend rien...