Equation différentielle (ordinaire ?)

[Schniko]

Bonjours, donc tout d'abord RRAAA !! (dsl, mais ça fait un bien fou de pouvoir le dire tout haut).

J'essaie de me rappeler : la façon de traiter/si on peut résoudre/comment ça marche... une équation différentielle (je crois que c'est du type ordinaire) de type

x'(t) = x(t).(a - y(t))
y'(t) = y(t).(-b + x(t))

soit l'évolution d'un système proie/prédateur le plus simple possible. J'ai vu comment traiter ce problème l'année passée, mais j'ai perdu mes cours, et je me rappelle plus exactement quelle est la méthode à appliquer (si on rentre le tout dans une matrice, si on se contente d'étudier graphiquement à partir des points fixes...).
Donc s'il vous plait, quelqu'un... Ce problème est en train de me tuer. :cry:

[nuage]

Salut,
le système n'étant pas linéaire je pense qu'une matrice est hors de propos.
Je pense que l'on peut étudier l'évolution qualitative suivant les valeurs de a et b et les conditions initiales (étude des points fixes).
A ma connaissance, qui n'est pas immense, on ne peut pas expliciter la solution générale.

[Schniko]

Ben merci. C'est à peu près ce à quoi je m'attendais, mais quand même, ça me semble bizarre qu'on ne puisse pas aller plus loin...

[nuage]

Ben merci. C'est à peu près ce à quoi je m'attendais, mais quand même, ça me semble bizarre qu'on ne puisse pas aller plus loin...

Il reste le calcul numérique. Mais, si mes souvenirs sont bons (ce qui n'est pas certain), le système est chaotique. Ce qui fait qu'on ne peut pas aller loin.
Et, si ce que j'ai affirmé plus haut est vrai, on est plus dans le cas général que dans un cas particulier.
Le déterminisme est une vision philosophique difficile, voir impossible dans la plus part des cas, à traduire dans la réalité, même mathématique.

Bon courage et A+

[JJa]

Bonjour,

l'équation de la trajectoire peut être calculée :
dx/dt = x.(a - y)
dy/dt = y.(-b + x)
dy/dx = y.(-b + x)/(x.(a - y))
((a-y)/y)dy = ((-b+x)/x)dx que l'on intègre :
a.ln(y) -y = -b.ln(x) +x +constante
(y^a)exp(y) = C.exp(x)/(x^b)
Cette relation entre x et y est l'équation de la trajectoire.
Il n'est pas possible d'exprimer y en fonction de x avec les fonctions usuelles en nombre fini. Mais c'est possible formellement en faisant appel à une fonction spéciale, la fonction W de Lambert.
Pour le calcul de la position sur la trajectoire, en fonction du temps, posons :
x(t) = exp(F(t))
y(t) = exp(G(t))
Ce changement permet la séparation en deux ED indépendantes :
F'' -(F'-a)(exp(F)-b) = 0
G'' +(G'+b)(exp(G)-a) = 0
Comme on le voit, ces ED ne sont pas linéaires et à première vue ne se résolvent pas avec les fonctions usuelles, ni même avec les fonctions spéciales les plus courantes. En fait, il faudrait approfondir sérieusement pour pouvoir donner un avis plus solide. Je subodore qu'en fin de compte, on soit conduit à du calcul numérique, que ce soit en partant directement de l'ED, ou indirectement pour calculer la (ou les) éventuelle(s) fonction(s) spéciale(s).