DM de TS : intégrales

[marie85]

Bonjour !

Notre prof de maths nous a donné un devoir maison à faire pour la rentrée, et après avoir planché dessus pendant trois jours, plus échangé avec des ami(e)s, j'ai constaté que personne n'arrivait à le faire. C'est pourquoi toute aide est la bienvenue... merci d'avance !! :)

Problème :
On considère la suite (u(n)) définie pour tout n entier strictement positif par :
u(n)=E((-1)^k)/(2k+1)=1-(1/3)+(1/5)-(1/7)+...+((1-)^n)/(2n+1)
(E est le symbole pour la somme)

On se propose d'établir que (u(n)) converge vers Pi/4

PARTIE A : expression de u(n) à l'aide d'une intégrale

1.Montrer que pour tout réel t, 1-t²+t^4-t^6+...+((-1)^n)(t2^n)=1/(1+t²)+((-1)n)*(t^(2n+2))/1+t²

2. En déduire que u(n)=S(de 0à1)(1/(1+t²))dt+(-1)S(de0à1)((t^(2n+2))/1+t²)dt
(S est le symbole de l'intégrale)

3. Justifier que, pour tout réel t compris entre 0et1, on a o<(t^(2n+2))/(1+t²)(ce ne sont pas des < en réalité mais inférieur ou égal)
En déduire que |u(n)-S(de0à1)(1/(1+t²))dt|<1/(2n+3)
(encore une fois il ne s'agit pas d'un < mais d'un inférieur ou égal)


PARTIE B : calcul de l'intégrale I=S(de0à1)(1/(1+t²))dt
Pour tout x€R, on pose F(x)=S(de0à x)1/(1+t²)dt
(évidemment, le € est un appartient)

1. Justifier la dérivabilité de F et donner l'expression de F'(x)

2. Pour tout x€ [0; pi/2[ on pose u(x)=F(tanx)
a) Justifier que u est dérivable et calculer u'(x)
b) Calculer u(0). En déduire que, pour tout x réel, on a u(x)=x

3. Déduire de ce qui précède que I=pi/4


PARTIE C : limite de (u(n)) et valeur approchée de pi

1. Utiliser les parties A et B pour déterminer la limite de la suite (u(n))

2. Déterminer un entier m tel que u(m) soit une valeur approchée de pi à 0.01près

3. Organiser le calcul sur la calculatrice, ou sur un tableur.



Voilou, j'espère que vous pourrez m'aider, parce que j'en ai marre de m'arracher les cheveux sur un truc comme ça... :(
Merci d'avance :)

[neibaf]

Bonjour,

Petite remarque : à l'occasion, essaie d'apprendre à utiliser TEX, ça aide vraiment à la laisibilité !

question 1
essaie de faire une soustraction entre ce qui est écrit de chaque côté du =. En mettant tout sur (1+t²) pour pouvoir faire ton calcul, tu vas voir que ça se simplifie.

question 2
calculer ton intégrale, c'est pareil que calculer le truc qui était mis de l'autre côté du = dans la question 1. Or, ce truc est bien plus facile à calculer quand on fait l'intégrale, fais le et tu trouveras... la lumière ;)

question 3
pour le supérieur ou égal à 0, pas bien compliqué quand même ! tu n'as que des nombres positifs... Pour l'autre inégalité, c'est assez clair aussi, car 1+t² est plus grand que 1, donc tu divises par un nombre plus grand que 1... pour le prouver, fais une soustraction. La fin est du cours, tu intègres l'inégalité...

Fais déjà ça et reposte après si besoin !

[marie85]

merci !! :)

je vais essayer ça...

Et pour TEX à vrai dire je savais qu'il existait des logiciels comme ça, mais je ne savais plus ce que c'était... désolée... :$

En fait j'arrive pas à mettre (1+t²) en facteur dans l'expression -1-((-1)^n)*t^(2n+2)... je vois pas l'expression à laquelle il faut aboutir. (désolée de pas avoir utilisé TEX mais ça donne pas du tout ce que je veux... :s)

[neibaf]

Pourquoi voudrais tu mettre en facteur ? Il n'y a pas du tout besoin... ?

[marie85]

en fait j'ai finalement trouvé la raison de la suite (qui est (-1)t², tout simplement) et donc j'ai réussi à faire la question 1, ainsi que la suite. Je bloque juste pour la question 2, de la partie A. Je ne vois pas le rapport entre u(n) et la suite 1-t²+t^6+... ?

[marie85]

en fait j'ai finalement trouvé la raison de la suite et donc j'ai réussi à faire la question 1(d'une autre façon : en effet, j'ai dans mon cours la formule pour calculer la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique), ainsi que la suite. Je bloque juste pour la question 2, de la partie A. Je ne vois pas le rapport entre u(n) et la suite 1-t²+t^6+... ?

[emdro]

Bonsoir,

Comme 1-t²+t^4-t^6+...+((-1)^n)(t2^n)=1/(1+t²)+((-1)n)*(t^(2n+2))/1+t²
et qu'on te demande de démontrer que Un est égal à l'intégrale du membre de droite, calcule l'intégrale du membre de gauche, et si tu trouves Un, c'est gagné!