Démonstration : intégrales

[Nightmare]

:lol2: Salut Alpha, cela faisait un bail !

[lapras]

Pas dur ^^
Il suffit de remarquer que sqrt(1-x²)=sqrt(1-x)*sqrt(1+x)
et que la primitive de sqrt(1-x) est (-2/3) * (1-x)^(3/2)
donc
u = sqrt(1+x) u'=1/(2sqrt(x+1))
v = (-2/3) * (1-x)^(3/2) v' = sqrt(1-x)

Intégration par partie :
1
Int[-1...1]( u.v' ) = [u.v]-1 - Int[-1...1]( u'.v) 1
Int[-1...1]( sqrt(1-x²) ) = [sqrt(1+x) * (-2/3) * (1-x)^3/2]-1 - Int[-1...1]( (1/(2sqrt(x+1))) * (-2/3) * (1-x)^(3/2) )
Int[-1...1]( sqrt(1-x²) ) = sqrt(1+x) * (-2/3) * (1-x)^3/2 + (2/3)*Int[-1...1]( (1/(2sqrt(x+1))) * (1-x)^(3/2) )

Nouvelle intégration par partie de Int[-1...1]( (1/(2sqrt(x+1))) * (1-x)^(3/2) )
je t'épargne les calculs et je trouve :
1
Int[-1...1]( (1/(2sqrt(x+1))) * (1-x)^(3/2) ) = [sqrt(x+1)*(1-x)^(3/2)]-1 - 1.5 Int[-1...1]( sqrt(1-x²) )

donc
(2/3)*Int[-1...1]( (1/(2sqrt(x+1))) * (1-x)^(3/2) ) = (2/3)*[sqrt(x+1)*(1-x)
1
^(3/2)]-1 - Int[-1...1]( sqrt(1-x²) )

donc

1
Int[-1...1]( sqrt(1-x²) ) = [sqrt(1+x) * (-2/3) * (1-x)^3/2]-1 + [(2/3)*sqrt(x+1)*(1-x)^(3/2)] - Int[-1...1]( sqrt(1-x²) )

donc

2Int[-1...1]( sqrt(1-x²) ) = [sqrt(1+x) * (-2/3) * (1-x)^3/2]-1 + [(2/3)*sqrt
1
(x+1)*(1-x)^(3/2)]-1

donc
Int[-1...1]( sqrt(1-x²) ) = 0.5*[sqrt(1+x) * (-2/3) * (1-x)^3/2]-1 + [(2/3)*sqrt
1
(x+1)*(1-x)^(3/2)]-1


J'ai la flemme de faire le calcul :cry:

J'ai pu faire des erreurs de calculs, et aussi j'ai pas le latex c'est vraiment moche, DESOLE.

EDIT :
merde, mes bornes -1 1 se sont pas mises avec les espaces !

[Nightmare]

C'est illisible et surement faux (on ne peux pas régler cette intégrale par IPP, sinon je ne te l'aurais pas donné), je chercherai bien l'erreur mais c'est tellement illisible que je n'ai même pas le courage de m'y lancer !

Trouve un autre moyen de calculer cette intégrale :happy3:

[lapras]

Je suis bête, hein ?
sqrt(1-x²) 'cest un demi cercle de rayon 1 donc l'aire est de 0.5*pi*r² = 0.5*pi

[Nightmare]

Oui c'est bien ça :lol3:

[lapras]

Il me reste à prouver que l'aire d'un cercle est de Pi*r².
Comment si je ne peux pas avoir une telle primitive ?

[Nightmare]

On l'admet ici, mais on pourrait aussi effectivement démontrer que l'aire d'un cercle vaut pi*R² avec la méthode d'intégration.

[lapras]

Ok je vais essayer de le démontrer, je te tiens au courant si j'y arrive pas :ptdr:

[lapras]

Nightmare,
je me suis pas lancé dans le calcul, mais c'est possible avec l'intégration par partie ??

[Skullkid]

La seule méthode que je vois a priori c'est de montrer que pour r > 0, , mais je crois pas que ce soit possible sans changement de variable...

Enfin c'est pas impossible qu'il y ait une autre méthode, attends quand même la réponse de Nightmare ^^

[lapras]

Oui je me doute bien qu'il faut montrer ca, mais comment ?
Le changement de variable est ce que ca consiste juste à poser u =x +b ou un truc du genre ?

[Alpha]

Le changement de variable, c'est se rendre compte que l'intégrale de a à b de
f ' (x) * g'(f(x)) dx est égale à l'intégrale de f(a) à f(b) de g'(t) dt. C'est facile à montrer puisque la dérivée de g rond f est f' * g rond f.

Ici, en factorisant par r², ça doit marcher en posant x = rcost comme changement de variable.

[Nightmare]

Hum non je ne vois pas d'autre méthode que le changement de variable ici, ou alors revenir à une somme de Riemann connue.

[Nightmare]

Sinon on peut régler le problème facilement en polaire.

[lapras]

Oui on peut poser x = rcos(a)
donc
il faut calculer
int[0... PI] ( sqrt(r²-r²cos(a)²)) ?
ca semble simple

Nightmare : je n'ai utilisé les coordonnées polaires que dans le programme de 1ere S, de quelle maniere veut tu les utiliser ?

[Skullkid]

Oui on peut poser x = rcos(a)
donc
il faut calculer
int[0... PI] ( sqrt(r²-r²cos(a)²)) ?
ca semble simple

Non, en posant x = rcos(a) on a : , il ne faut pas oublier l'effet du changement de variable sur l'élément différentiel (le dx) : ici, comme x = rcos(a), dx = -rsin(a)da. Mais l'intégrale n'est en effet pas difficile.

[lapras]

Ca va peut etre paraitre bête, mais je ne vois pas a quoi sert réellement le dx ?
Je sais que c'est une notation différentielle que j'utilisais en physique pour les dérivées :
dy/dx
mais ici quelle signification a il exactement ? Car en fait ce n'est même pas dit dans mon cour.
Je sais juste que ca permet d'indiquer qu'on travaille par rapport à la variable x.

[anima]

Ca va peut etre paraitre bête, mais je ne vois pas a quoi sert réellement le dx ?
Je sais que c'est une notation différentielle que j'utilisais en physique pour les dérivées :
dy/dx
mais ici quelle signification a il exactement ? Car en fait ce n'est même pas dit dans mon cour.
Je sais juste que ca permet d'indiquer qu'on travaille par rapport à la variable x.

En dérivant, tu divises littéralement par dx; d'ou la notation . Donc l'intégration, qui est la fonction réciproque de la dérivation (a une constante pres), se doit d'avoir une multiplication par dx.

C'est comme ca qu'on me l'a présenté, moi...

[Skullkid]

Ça paraît pas bête, vu qu'au lycée on présente juste ça comme une notation, sans expliquer ce que ça représente. dx représente une variation infinitésimale de x, une quantité qui a vocation à tendre vers 0 en quelque sorte.

Pour sa présence dans l'intégrale, de façon un peu confuse :

On divise l'intervalle [a,b] (sur lequel f est continue) en n segments égaux (avec n qui a vocation à tendre vers l'infini) de longueur dx. Pour un élément de [a,b] la quantité , qui est l'aire du rectangle de dimensions et dx, est une "assez bonne" approximation de l'aire sous la courbe de f entre et , et elle est d'autant meilleure que dx est petit. Calucler l'intégrale de f entre a et b ça revient donc à faire la somme des f(x)dx pour tous les x de [a,b], ce qu'on note par

Je sais pas si j'ai été très clair...

[lapras]

Tu as été tres clair, nightmare avait utilisé ce systeme de rectangle de largeur dx dans un post tres récent (de J-R). Si j'ai bien compris, plus n est grand, plus le rectangle a une largeur petit et peut etre assimilé à un "trait", ce qui renforce la précision du calcul d'aire.
merci :++: