bonjour à tous!
voila j'ai un excercie sur les intégrales ou je bloque ! donc pouvez vous m'aider svp merci de votre part !
Soit f la fonction définie sur [0;1] par :
f(x) = sin ( pi x )
on note Cf sa courbe représentative dans un repere orthonormé du plan d'unité graphique 8cm.
1)a) tracer la courbe Cf.
b) calculer l'intégrale I= intégral de 0 à 1 f(x)dx.
c) interpréter graphiquement cette courbe.
2)pour tout entier n supérieur ou egal a 2, on pose :
Sn = (1/n) [ f(0) + f(1/n) + f(2/n) + ... + f( n-1 / n ) ]
a) interpreter graphiquement Sn en considérant les rectangles Rk de base [k/n ; k+1 / n] et de hauteur f(k/n) où k appartient à {0;1;...;n-1}.
faire la figure pour n=8.
b) démontrer que pour tout n appartenant a N*,
Somme des exponentielles (k i pi / n ) = 2 / (1 - exp( i pi / n ) )
c) en déduire que pour tout n appartenant a N*,
Somme des sin ( k pi / n ) = [ cos ( pi / 2n ) ] / [ sin ( pi / 2n) ]
d) demontrer finalement que lim de Sn en + infini = 2/pi
3) comparer les resultats des questions 1) et 2) et en donner l'interprétation graphique.
Pour les question 1) b) je trouve 2/ pi puis je bloque a la question 2) donc j'ai vraiment besoin de votre aide pour avancer dans cette exo . Merci !!!!
Probléme sur les intégrales rrrrr!!!!
6 messages
- Page 1 sur 1
par Myers » 27 Mar 2007, 19:14
Salut, voila quelques aides
Soit f la fonction définie sur [0;1] par :
f(x) = sin ( pi x )
on note Cf sa courbe représentative dans un repere orthonormé du plan d'unité graphique 8cm.
1)a) tracer la courbe Cf.
Je te laisse faire.
b) calculer l'intégrale I= intégral de 0 à 1 f(x)dx.
dx &=& \int_0^1 \sin \Pi x dx\\<br />& = & \left[ \frac{1}{\Pi} \cos \Pi x\right]_0^1 \\<br />& = & \frac{1}{\Pi} \left(\cos 1 - \cos \Pi \right) \\<br />& = & \frac{2}{\Pi} <br />\end{eqnarray*})
c) interpréter graphiquement cette courbe.
Je te laisse faire
2)pour tout entier n supérieur ou egal a 2, on pose :
Sn = (1/n) [ f(0) + f(1/n) + f(2/n) + ... + f( n-1 / n ) ]
a) interpreter graphiquement Sn en considérant les rectangles Rk de base [k/n ; k+1 / n] et de hauteur f(k/n) où k appartient à {0;1;...;n-1}.
faire la figure pour n=8.
En gros
calcul l'aire entre la courbe, l'axe des abscisse, la droite x=0 et la droite x = (n-1)/n, (tu devrai le remarquer en faisant la figure)
Pour la figure je te laisse faire.
b) démontrer que pour tout n appartenant a N*,
Somme des exponentielles (k i pi / n ) = 2 / (1 - exp( i pi / n ) )
Il faut démontrer : = \frac{2}{1-\exp\left(\frac{i\Pi}{n}\right)})
Pour cela, tu va faire un raisonnement par récurrence sur n, tu testes pour les premières valeures de n, tu vois que la formule est juste.
Tu la suppose vrai au rang n, tu montre au rang n+1, tu dois montrer :
 = \frac{2}{1-\exp\left(\frac{i\Pi}{n+1}\right)})
ou encore
\right)\sum_{k=0}^{n}\exp\left(\frac{ki\Pi}{n+1}\right) = 2)
ou encore
-<br /> \exp\left(\frac{(k+1)i\Pi}{n+1}\right)<br />\right) = 2)
ou encore
 \right)}^k-<br /> {\left( \exp\left(\frac{i\Pi}{n+1}\right) \right)}^{k+1}<br />\right) = 2)
en posant)
, tu as
 &= &<br /> \left(a^0 -\right.\underbrace{\left.a^1\right) + <br /> \left( a^1\right.}_{=0} \displaystyle\overbrace{\left. - a^2\right) + <br /> \cdots + \left( a^{n-1}\right.}^{=0} - \underbrace{\left.a^{n} \right) + \left(a^{n}\right.}_{=0}\left. - a^{n+1}\right) \\<br />&=& a^0 - a^{n+1} \\<br />& = & 2<br />\end{eqnarray*})
c) en déduire que pour tout n appartenant a N*,
Somme des sin ( k pi / n ) = [ cos ( pi / 2n ) ] / [ sin ( pi / 2n) ]
Tu remplaces)
par +i\sin\left(\frac{\Pi}{n+1}\right))
dans la formule qui devais être démontrée, puis tu prends la partie Imaginaire de la formule.
d) demontrer finalement que lim de Sn en + infini = 2/pi
Tu fais la limite dans la formule montrée en c), ce n'est pas difficile, en gros tu aura cos( 0 ) / sin (0 ) = 1 / ( Pi / 2) = 2 / Pi.
3) comparer les resultats des questions 1) et 2) et en donner l'interprétation graphique.
Tu remarque que tu trouve la même chose au 1) et au 2) (heureusement), car les deux formules te donnent l'aire sous la courbe entre x=0 et x=1 (n'oublie pas que (n-1)/n tend vers 1 quand n tend vers l'infinis, dans (reprendre question a)))
Voila j'espère que ça t'as aidé.
@++
Soit f la fonction définie sur [0;1] par :
f(x) = sin ( pi x )
on note Cf sa courbe représentative dans un repere orthonormé du plan d'unité graphique 8cm.
1)a) tracer la courbe Cf.
Je te laisse faire.
b) calculer l'intégrale I= intégral de 0 à 1 f(x)dx.
c) interpréter graphiquement cette courbe.
Je te laisse faire
2)pour tout entier n supérieur ou egal a 2, on pose :
Sn = (1/n) [ f(0) + f(1/n) + f(2/n) + ... + f( n-1 / n ) ]
a) interpreter graphiquement Sn en considérant les rectangles Rk de base [k/n ; k+1 / n] et de hauteur f(k/n) où k appartient à {0;1;...;n-1}.
faire la figure pour n=8.
En gros
Pour la figure je te laisse faire.
b) démontrer que pour tout n appartenant a N*,
Somme des exponentielles (k i pi / n ) = 2 / (1 - exp( i pi / n ) )
Il faut démontrer :
Pour cela, tu va faire un raisonnement par récurrence sur n, tu testes pour les premières valeures de n, tu vois que la formule est juste.
Tu la suppose vrai au rang n, tu montre au rang n+1, tu dois montrer :
ou encore
ou encore
ou encore
en posant
c) en déduire que pour tout n appartenant a N*,
Somme des sin ( k pi / n ) = [ cos ( pi / 2n ) ] / [ sin ( pi / 2n) ]
Tu remplaces
d) demontrer finalement que lim de Sn en + infini = 2/pi
Tu fais la limite dans la formule montrée en c), ce n'est pas difficile, en gros tu aura cos( 0 ) / sin (0 ) = 1 / ( Pi / 2) = 2 / Pi.
3) comparer les resultats des questions 1) et 2) et en donner l'interprétation graphique.
Tu remarque que tu trouve la même chose au 1) et au 2) (heureusement), car les deux formules te donnent l'aire sous la courbe entre x=0 et x=1 (n'oublie pas que (n-1)/n tend vers 1 quand n tend vers l'infinis, dans
Voila j'espère que ça t'as aidé.
@++
par pitchoune55 » 29 Mar 2007, 11:14
merci beaucoup de ton aide maintenant je vais essayer de me debrouiller avec ce que tu m'as donner enfin je te recontacterais si il y a un un probleme ou si je ne comprend pas ! merci infiniment de m'aider ! :zen:
même problème
par Salto » 13 Jan 2008, 18:58
Bonjour, je me permet de ressortir ce sujet car j'ai le même exercice à faire...
En fait, je voudrais si quelqu'un pouvait m'expliquer la question 2)a. avec les rectangles parce que je ne comprends pas du tout ce que je dois faire.
Et aussi pourquoi est ce que pour la limite on utilise la formule de la question précédente alors que normalement Sn = 1/n x (sin(1/n)+sin(2/n)+...+sin(n-1/n))
En gros, ou disparait le 1/n du début ?
En fait, je voudrais si quelqu'un pouvait m'expliquer la question 2)a. avec les rectangles parce que je ne comprends pas du tout ce que je dois faire.
Et aussi pourquoi est ce que pour la limite on utilise la formule de la question précédente alors que normalement Sn = 1/n x (sin(1/n)+sin(2/n)+...+sin(n-1/n))
En gros, ou disparait le 1/n du début ?
par Salto » 13 Jan 2008, 20:16
Personne pour m'aider ?
Je veux juste qu'on m'explique ce qu'il faut faire dans la question, apres je peux me débrouiller pour savoir ce qu'il faut que je trouve...
Je veux juste qu'on m'explique ce qu'il faut faire dans la question, apres je peux me débrouiller pour savoir ce qu'il faut que je trouve...
par Salto » 13 Jan 2008, 23:30
Personne pour m'aider ?
Je veux juste qu'on m'explique ce qu'il faut faire dans la question, apres je peux me débrouiller pour savoir ce qu'il faut que je trouve...
Je veux juste qu'on m'explique ce qu'il faut faire dans la question, apres je peux me débrouiller pour savoir ce qu'il faut que je trouve...
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