Bonjour , j'ai un DM de Maths à rendre et je ne parviens pas à le faire ! :ouch:
Si vous pouviez m'aider , ce serait sympa :D
ABC est un triangle isocèle en A , de hauter [AH] tel que : BC = 12 cm et AH = 10 cm . M est un point de [AH] . La parallèle à (BC) passant par M coupe [AB] en J et [AC] en K . E et F sont les projetés orthogonaux respectifs de J et K sur la droite (BC) . On pose AM = x .
(Figure représentée sur le côté)
1) Démontrer que MJ = (3/5)x
2) On appelle f(x) l'aire du rectangle JKFE lorsque x décrit l'intervalle [O;10] .
a) Montrer que f(x) = 12x - (6/5)x² et vérifier que f(x) = 30 - (6/5) (x-5)² .
b) Recopier et compléter à l'aide de la calculatrice le tableu suivant :
(Il faut calculer les différentes valeurs de x pour la fonction f(x) , assez simple)
3) (C) est la courbe représentative de la fonction f : x --> f(x) sur l'intervalle [0;10] .
Construire (C) dans le repère joint .
4) Par lecture graphique ou en utilisant le tableau précédent , répondre aux questions suivantes :
a) Lorsque AM = (1/4)AH , quelle est l'aire de JKFE ?
b) POur quelle position de M l'aire du rectangle JKFE semble-t-elle maximale ?
c) Comment choisir x pour que l'aire du rectangle soit supérieure ou égale à 25,2 cm² ?
d) Vérifier qu'il existe deux valeurs de x pour lesquelles l'aire du rectangle est égale à 18 cm² . Encadrer chacune de ces valeurs par deux entiers consécutifs .
5) a) Démontrer par le calcul que l'on a : f(x) < (ou égal) 30 quel que soit x appartient à [0;10] . Que peut-on en déduire ?
b)Démontrer , par le calcul , que l'aire du rectangle JKFE est égale à 18 cm² lorsque x = 5 - racine carrée de 10 ou x = 5 + racine carrée de 10 .
Maths
2 messages
- Page 1 sur 1
par wollywolly » 01 Fév 2008, 15:58
salut!
y en a qui vont être content! ça sent la grosse démotivation pour les maths un post comme celui que t´as laissé. C´est franchement dommage car en prenant tes exos de maths de manière un peu ludique tu te ferais doublement plaisir: ce ne serait pas une corvée de faire un petit exo et de plus tes résultats seraient vite très bon.
à ma manière j´essaye de te réconcilier avec cette matière que sont les Maths voilà donc quelques indices et plus bas les solutions. alors c´est très crade car je l´ai fait en pdf que je viens de copier ici mais si t´as un mail, je peux t´envoyer le pdf directement.
INDICES
1) Démontrer que MJ = (3/5)x.
À ce stade, notre boite à outil n´est pas très fournie et les outils dont on a besoin sont souvent les mêmes :
- Pythagore
- Thalès
Ici on voit apparaitre la configuration bien connue de Thalès. Il ne reste plus qu´à voir si on dispose de toutes les longueurs nécessaires pour pouvoir exprimer MJ en fonction de x.
Encore faut-il reconnaitre les points particuliers. Pour t´aider : que peux-tu dire de H par rapport au segment BC? En effet n´oublie pas qu´on a ici un triangle isocèle en A et que AH est une hauteur, donc qu´en déduis-tu pour la longueur BH ?
BH étant maintenant connu, il ne te reste plus qu´à appliquer Thalès correctement. 2) On appelle f(x) l'aire du rectangle JKFE lorsque x décrit l'intervalle [O;10]. a) Montrer que f(x) = 12x - (6/5)x² et vérifier que f(x) = 30 - (6/5) (x-5)² . Question assez élémentaire puisqu´il suffit de revenir à la définition de l´aire d´un rectangle : quelle est sa formule générale ?
On vient de calculer MJ donc en fait on connait par là même JK.
Reste à trouver MH ; là pour le coup MH est très facile en fonction de x.
Avec MJ et MH on obtient ainsi f(x).
Pour vérifier l´ égalité, tu as deux possibilités : ou bien tu transformes la première expression de telle sorte à obtenir la deuxième ou bien tu
développes la deuxième pour retomber sur la première. Ici la deuxième possibilité apparait être nettement plus facile. On essaye ?
b) Recopier et compléter à l'aide de la calculatrice le tableau suivant: (Il faut calculer les différentes valeurs de x pour la fonction f(x) , assez simple)
à toi de jouer !
3) (C) est la courbe représentative de la fonction f : x --> f(x) sur l'intervalle [0;10] Construire (C) dans le repère joint. idem !
4) Par lecture graphique ou en utilisant le tableau précédent, répondre aux questions suivantes : a) Lorsque AM = (1/4)AH , quelle est l'aire de JKFE ? Ici comme le dit l´énoncé, il suffit de lire sur le graphique. Il te faut juste trouver où regarder : quelle est la valeur de x lorsque AM = (1/4)AH.
b) Pour quelle position de M l'aire du rectangle JKFE semble-t-elle maximale? Là encore il suffit de regarder le graphique.
c) Comment choisir x pour que l'aire du rectangle soit supérieure ou égale à 25,2 cm² ? Pour se faciliter la tâche, trace sur le graphe la droite d´équation y=25.2 qui correspond à « l'aire du rectangle est égale à 25,2 cm² ». à partir de là, tu regardes où ta courbe est supérieure à ta droite (cad où l'aire du rectangle est supérieure à 25,2 cm² ) et tu relèves les x qui entrent dans cette configuration.
d) Vérifier qu'il existe deux valeurs de x pour lesquelles l'aire du rectangle est égale à 18 cm². Encadrer chacune de ces valeurs par deux entiers consécutifs. si t´as fait la question c), cette question devient d´une facilité déconcertante, n´est-ce-pas ?
5) a) Démontrer par le calcul que l'on a : f(x) < (ou égal) 30 quel que soit x appartient à [0;10]. Que peut-on en déduire ? alors pour cette question il faut rester concentré(e) car c´est le moment de mettre en application toutes les règles que t´as apprises sur les inégalités.
Le point de départ est :
0<= x <= 30
A partir de là il te faut encadrer successivement :
x-5
(x-5)^2
(6/5) (x-5)^2
- (6/5) (x-5)^2
Et enfin f(x) et c´est gagné !
b) Démontrer, par le calcul, que l'aire du rectangle JKFE est égale à 18 cm² lorsque x = 5 - racine carrée de 10 ou x = 5 + racine carrée de 10
Le principe de cette question est de traduire l´expression « l'aire du rectangle JKFE est égale à 18 cm² » par une équation avec f(x) car, faut-il le rappeler, f(x) représente l´aire du rectangle JKFE.
C´est bon ? Super, il reste maintenant plus qu´à remplacer f(x) par son expression en terme de x et de résoudre cette équation. Allez un dernier petit effort et c´est terminé !
SOLUTIONS
ABC est un triangle isocèle en A, de hauteur [AH] tel que : BC = 12 cm et AH = 10 cm. M est un point de [AH]. La parallèle à (BC) passant par M coupe [AB] en J et [AC] en K. E et F sont les projetés orthogonaux respectifs de J et K sur la droite (BC). On pose AM = x. (Figure représentée sur le côté)
A
x
M
K
J
C
B
E
H
F
1) Démontrer que MJ = (3/5)x.
JM et BH sont parallèles d´après l´énoncé donc on va pouvoir appliquer le théorème de Thalès. On cherche JM en fonction de AM=x. Pour appliquer Thalès, il nous faut encore connaitre BH et AH car Thalès nous dit que : AHAMBHJM= Or AH on le connait déjà (10cm) en revanche BH on ne le connait pas directement. Mais on sait que BC fait 12cm et que AH est la hauteur issue de A. Or tu sais que la hauteur issue du sommet principal d´un triangle coupe le côté opposé en son milieu. Donc H est milieu de BC d´où BH=6cm
On remplace dans l´équation, on a alors : 106xJM=
Soit 106xJM= donc 53xJM=
2) On appelle f(x) l'aire du rectangle JKFE lorsque x décrit l'intervalle [O;10]. a) Montrer que f(x) = 12x - (6/5)x² et vérifier que f(x) = 30 - (6/5) (x-5)² . f(x) = JK*MH
Tu sais que JK = 2*JM
Et que MH = AH x soit MH = 10 x
D´où )10(*53*2)(xxxf;)=
Donc 25612)(xxxf;)=
On développe maintenant 30 - (6/5) (x-5)² pour voir que c´est bien la même chose que f(x). )2510(5630)5(563022+;);)=;);)xxx 30125630)5(563022;)+;)=;);)xxx 225612)5(5630xxx;)=;);) )()5(56302xfx=;);)
b) Recopier et compléter à l'aide de la calculatrice le tableau suivant: (Il faut calculer les différentes valeurs de x pour la fonction f(x) , assez simple)
à toi de jouer !
3) (C) est la courbe représentative de la fonction f : x --> f(x) sur l'intervalle [0;10] Construire (C) dans le repère joint. idem !
Ce devrait ressembler à ceci : f(x)051015202530350246810xAire de JKFE (
en cm2)
4) Par lecture graphique ou en utilisant le tableau précédent, répondre aux questions suivantes : a) Lorsque AM = (1/4)AH , quelle est l'aire de JKFE ? Lorsque AM = (1/4)AH , x=2.5cm. On repère sur le graphe la valeur de f(x) pour x=2.5cm
f(x)05101520253035012345xAire de JKFE (
en cm2)
On lit que dans cette configuration l´aire de JKFE est 22.5cm2.
b) Pour quelle position de M l'aire du rectangle JKFE semble-t-elle maximale? On regarde de nouveau le graphique : f(x) atteint son maximum pour x=5. f(x) représente précisément l´aire de JKFE. Donc on peut dire que cette aire est maximale quand le point M se trouve au point M tel que AM=5cm cad quand M est au milieu de AH.
c) Comment choisir x pour que l'aire du rectangle soit supérieure ou égale à 25,2 cm² ? f(x)0510152025303501234567891xAire de JKFE (
en cm2)
Pour se faciliter la tâche, on trace sur le graphe la droite d´équation y=25.2 qui correspond à « l'aire du rectangle est égale à 25,2 cm² ». à partir de là, on regarde où la courbe est supérieure à la droite (cad où l'aire du rectangle est supérieure à 25,2 cm² ) et on relève les x correspondant.
On peut ainsi dire que x peut être choisi entre 3 et 7 cm.
d) Vérifier qu'il existe deux valeurs de x pour lesquelles l'aire du rectangle est égale à 18 cm². Encadrer chacune de ces valeurs par deux entiers consécutifs. En observant le graphique, on voit que la courbe passe 2 fois et seulement deux fois par 18 donc il n´existe que 2 configurations pour lesquelles l´aire vaut 18cm2.
La première fois c´est pour x un peu plus petit que 2.comme il est demandé de l´encadrer par deux entiers consécutifs on dira x compris entre 1 et 2. et la deuxième fois x est compris entre 8 et 9.
5) a) Démontrer par le calcul que l'on a : f(x) < (ou égal) 30 quel que soit x appartient à [0;10]. Que peut-on en déduire ? 100;);)x
555;);););)x
Cette double inégalité ne peut pas être passée telle quelle au carré car on a un membre négatif et l´autre positif. On va donc analyser deux cas de figure :
Soit 055;);););)x
Alors car (x-5) étant ici négatif, il faut permuter les bornes 25)5(02;););)x
Soit 550;););)x
Alors car (x-5) étant positif le passage au carré conserve le sens de l´inégalité. 25)5(02;););)x
En fait que (x-5) soit positif ou négatif, on a 25)5(02;););)x
On continue donc : 302556)5(5602=;););)x
Le passage à l´opposé inverse les bornes : 0)5(56302;););););)x
Et enfin il ne reste plus qu´à rajouter 30 : 30)5(563002;);););)x
D´où f(x)<=30
Que peut-on en déduire ?
On peut en déduire que quelque soit l´endroit où on place M sur AH, l´aire du rectangle ne dépassera jamais 30cm2.
b) Démontrer, par le calcul, que l'aire du rectangle JKFE est égale à 18 cm² lorsque x = 5 - racine carrée de 10 ou x = 5 + racine carrée de 10
« l'aire du rectangle JKFE est égale à 18 cm² » se traduit par :
f(x) = 18
soit 18)5(56302=;);)x
0)5(56122=;);)x
En multipliant partout par 5/6 de sorte à enlever les fractions, il vient :
0)5(102=;);)x
Voilà donc l´équation qu´il nous faut résoudre ! Ici il y a 2 manières de continuer : soit on développe le deuxième terme avant de regrouper et de chercher les racines d´un trinôme de manière classique soit on reconnait une forme de carré particulière à savoir qui bien sûr ce factorise en : (a-b)(a+b) 22ba;)
Il vient donc e suite : [][]0)5(10)5(10=;)+;);)xx
Ainsi les racines apparaissent directement.
y en a qui vont être content! ça sent la grosse démotivation pour les maths un post comme celui que t´as laissé. C´est franchement dommage car en prenant tes exos de maths de manière un peu ludique tu te ferais doublement plaisir: ce ne serait pas une corvée de faire un petit exo et de plus tes résultats seraient vite très bon.
à ma manière j´essaye de te réconcilier avec cette matière que sont les Maths voilà donc quelques indices et plus bas les solutions. alors c´est très crade car je l´ai fait en pdf que je viens de copier ici mais si t´as un mail, je peux t´envoyer le pdf directement.
INDICES
1) Démontrer que MJ = (3/5)x.
À ce stade, notre boite à outil n´est pas très fournie et les outils dont on a besoin sont souvent les mêmes :
- Pythagore
- Thalès
Ici on voit apparaitre la configuration bien connue de Thalès. Il ne reste plus qu´à voir si on dispose de toutes les longueurs nécessaires pour pouvoir exprimer MJ en fonction de x.
Encore faut-il reconnaitre les points particuliers. Pour t´aider : que peux-tu dire de H par rapport au segment BC? En effet n´oublie pas qu´on a ici un triangle isocèle en A et que AH est une hauteur, donc qu´en déduis-tu pour la longueur BH ?
BH étant maintenant connu, il ne te reste plus qu´à appliquer Thalès correctement. 2) On appelle f(x) l'aire du rectangle JKFE lorsque x décrit l'intervalle [O;10]. a) Montrer que f(x) = 12x - (6/5)x² et vérifier que f(x) = 30 - (6/5) (x-5)² . Question assez élémentaire puisqu´il suffit de revenir à la définition de l´aire d´un rectangle : quelle est sa formule générale ?
On vient de calculer MJ donc en fait on connait par là même JK.
Reste à trouver MH ; là pour le coup MH est très facile en fonction de x.
Avec MJ et MH on obtient ainsi f(x).
Pour vérifier l´ égalité, tu as deux possibilités : ou bien tu transformes la première expression de telle sorte à obtenir la deuxième ou bien tu
développes la deuxième pour retomber sur la première. Ici la deuxième possibilité apparait être nettement plus facile. On essaye ?
b) Recopier et compléter à l'aide de la calculatrice le tableau suivant: (Il faut calculer les différentes valeurs de x pour la fonction f(x) , assez simple)
à toi de jouer !
3) (C) est la courbe représentative de la fonction f : x --> f(x) sur l'intervalle [0;10] Construire (C) dans le repère joint. idem !
4) Par lecture graphique ou en utilisant le tableau précédent, répondre aux questions suivantes : a) Lorsque AM = (1/4)AH , quelle est l'aire de JKFE ? Ici comme le dit l´énoncé, il suffit de lire sur le graphique. Il te faut juste trouver où regarder : quelle est la valeur de x lorsque AM = (1/4)AH.
b) Pour quelle position de M l'aire du rectangle JKFE semble-t-elle maximale? Là encore il suffit de regarder le graphique.
c) Comment choisir x pour que l'aire du rectangle soit supérieure ou égale à 25,2 cm² ? Pour se faciliter la tâche, trace sur le graphe la droite d´équation y=25.2 qui correspond à « l'aire du rectangle est égale à 25,2 cm² ». à partir de là, tu regardes où ta courbe est supérieure à ta droite (cad où l'aire du rectangle est supérieure à 25,2 cm² ) et tu relèves les x qui entrent dans cette configuration.
d) Vérifier qu'il existe deux valeurs de x pour lesquelles l'aire du rectangle est égale à 18 cm². Encadrer chacune de ces valeurs par deux entiers consécutifs. si t´as fait la question c), cette question devient d´une facilité déconcertante, n´est-ce-pas ?
5) a) Démontrer par le calcul que l'on a : f(x) < (ou égal) 30 quel que soit x appartient à [0;10]. Que peut-on en déduire ? alors pour cette question il faut rester concentré(e) car c´est le moment de mettre en application toutes les règles que t´as apprises sur les inégalités.
Le point de départ est :
0<= x <= 30
A partir de là il te faut encadrer successivement :
x-5
(x-5)^2
(6/5) (x-5)^2
- (6/5) (x-5)^2
Et enfin f(x) et c´est gagné !
b) Démontrer, par le calcul, que l'aire du rectangle JKFE est égale à 18 cm² lorsque x = 5 - racine carrée de 10 ou x = 5 + racine carrée de 10
Le principe de cette question est de traduire l´expression « l'aire du rectangle JKFE est égale à 18 cm² » par une équation avec f(x) car, faut-il le rappeler, f(x) représente l´aire du rectangle JKFE.
C´est bon ? Super, il reste maintenant plus qu´à remplacer f(x) par son expression en terme de x et de résoudre cette équation. Allez un dernier petit effort et c´est terminé !
SOLUTIONS
ABC est un triangle isocèle en A, de hauteur [AH] tel que : BC = 12 cm et AH = 10 cm. M est un point de [AH]. La parallèle à (BC) passant par M coupe [AB] en J et [AC] en K. E et F sont les projetés orthogonaux respectifs de J et K sur la droite (BC). On pose AM = x. (Figure représentée sur le côté)
A
x
M
K
J
C
B
E
H
F
1) Démontrer que MJ = (3/5)x.
JM et BH sont parallèles d´après l´énoncé donc on va pouvoir appliquer le théorème de Thalès. On cherche JM en fonction de AM=x. Pour appliquer Thalès, il nous faut encore connaitre BH et AH car Thalès nous dit que : AHAMBHJM= Or AH on le connait déjà (10cm) en revanche BH on ne le connait pas directement. Mais on sait que BC fait 12cm et que AH est la hauteur issue de A. Or tu sais que la hauteur issue du sommet principal d´un triangle coupe le côté opposé en son milieu. Donc H est milieu de BC d´où BH=6cm
On remplace dans l´équation, on a alors : 106xJM=
Soit 106xJM= donc 53xJM=
2) On appelle f(x) l'aire du rectangle JKFE lorsque x décrit l'intervalle [O;10]. a) Montrer que f(x) = 12x - (6/5)x² et vérifier que f(x) = 30 - (6/5) (x-5)² . f(x) = JK*MH
Tu sais que JK = 2*JM
Et que MH = AH x soit MH = 10 x
D´où )10(*53*2)(xxxf;)=
Donc 25612)(xxxf;)=
On développe maintenant 30 - (6/5) (x-5)² pour voir que c´est bien la même chose que f(x). )2510(5630)5(563022+;);)=;);)xxx 30125630)5(563022;)+;)=;);)xxx 225612)5(5630xxx;)=;);) )()5(56302xfx=;);)
b) Recopier et compléter à l'aide de la calculatrice le tableau suivant: (Il faut calculer les différentes valeurs de x pour la fonction f(x) , assez simple)
à toi de jouer !
3) (C) est la courbe représentative de la fonction f : x --> f(x) sur l'intervalle [0;10] Construire (C) dans le repère joint. idem !
Ce devrait ressembler à ceci : f(x)051015202530350246810xAire de JKFE (
en cm2)
4) Par lecture graphique ou en utilisant le tableau précédent, répondre aux questions suivantes : a) Lorsque AM = (1/4)AH , quelle est l'aire de JKFE ? Lorsque AM = (1/4)AH , x=2.5cm. On repère sur le graphe la valeur de f(x) pour x=2.5cm
f(x)05101520253035012345xAire de JKFE (
en cm2)
On lit que dans cette configuration l´aire de JKFE est 22.5cm2.
b) Pour quelle position de M l'aire du rectangle JKFE semble-t-elle maximale? On regarde de nouveau le graphique : f(x) atteint son maximum pour x=5. f(x) représente précisément l´aire de JKFE. Donc on peut dire que cette aire est maximale quand le point M se trouve au point M tel que AM=5cm cad quand M est au milieu de AH.
c) Comment choisir x pour que l'aire du rectangle soit supérieure ou égale à 25,2 cm² ? f(x)0510152025303501234567891xAire de JKFE (
en cm2)
Pour se faciliter la tâche, on trace sur le graphe la droite d´équation y=25.2 qui correspond à « l'aire du rectangle est égale à 25,2 cm² ». à partir de là, on regarde où la courbe est supérieure à la droite (cad où l'aire du rectangle est supérieure à 25,2 cm² ) et on relève les x correspondant.
On peut ainsi dire que x peut être choisi entre 3 et 7 cm.
d) Vérifier qu'il existe deux valeurs de x pour lesquelles l'aire du rectangle est égale à 18 cm². Encadrer chacune de ces valeurs par deux entiers consécutifs. En observant le graphique, on voit que la courbe passe 2 fois et seulement deux fois par 18 donc il n´existe que 2 configurations pour lesquelles l´aire vaut 18cm2.
La première fois c´est pour x un peu plus petit que 2.comme il est demandé de l´encadrer par deux entiers consécutifs on dira x compris entre 1 et 2. et la deuxième fois x est compris entre 8 et 9.
5) a) Démontrer par le calcul que l'on a : f(x) < (ou égal) 30 quel que soit x appartient à [0;10]. Que peut-on en déduire ? 100;);)x
555;);););)x
Cette double inégalité ne peut pas être passée telle quelle au carré car on a un membre négatif et l´autre positif. On va donc analyser deux cas de figure :
Soit 055;);););)x
Alors car (x-5) étant ici négatif, il faut permuter les bornes 25)5(02;););)x
Soit 550;););)x
Alors car (x-5) étant positif le passage au carré conserve le sens de l´inégalité. 25)5(02;););)x
En fait que (x-5) soit positif ou négatif, on a 25)5(02;););)x
On continue donc : 302556)5(5602=;););)x
Le passage à l´opposé inverse les bornes : 0)5(56302;););););)x
Et enfin il ne reste plus qu´à rajouter 30 : 30)5(563002;);););)x
D´où f(x)<=30
Que peut-on en déduire ?
On peut en déduire que quelque soit l´endroit où on place M sur AH, l´aire du rectangle ne dépassera jamais 30cm2.
b) Démontrer, par le calcul, que l'aire du rectangle JKFE est égale à 18 cm² lorsque x = 5 - racine carrée de 10 ou x = 5 + racine carrée de 10
« l'aire du rectangle JKFE est égale à 18 cm² » se traduit par :
f(x) = 18
soit 18)5(56302=;);)x
0)5(56122=;);)x
En multipliant partout par 5/6 de sorte à enlever les fractions, il vient :
0)5(102=;);)x
Voilà donc l´équation qu´il nous faut résoudre ! Ici il y a 2 manières de continuer : soit on développe le deuxième terme avant de regrouper et de chercher les racines d´un trinôme de manière classique soit on reconnait une forme de carré particulière à savoir qui bien sûr ce factorise en : (a-b)(a+b) 22ba;)
Il vient donc e suite : [][]0)5(10)5(10=;)+;);)xx
Ainsi les racines apparaissent directement.
2 messages
- Page 1 sur 1
Qui est en ligne
Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 75 invités
Tu pars déja ?
Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !
Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Identification
Pas encore inscrit ?
Ou identifiez-vous :