Calcul matriciel

[toto50]

Bonsoir,

Merci de m'aider pour la résolution de ces exercices, en faisant les références au cours.

Soit M2 l'ensemble des matrices carrées d'ordre 2 à coéfficients réels. Si A est un élément de M2, on dire que Landa est valeur propre de A et Y = ( y1, y2) un vecteur propre associé si le triplet ( A,Y, Landa ) vérifie Y Différent de (0,0) et AY = Landa Y.

On désigne par P le polynome défini par P(X) = X2 + X + 1

1) Montrer que P n'admet pas de racines

2) On désigne par G l'ensemble des matrices A de M2 vérifiant P(A) = O où O désigne la matrice de M dont les coefficients sont tous nuls.

a) Montrer que si A appartient G et ( landa, Y ) désigne un couple valeur propre et vecteur propre associé de A alors Landa est solution de l'équation P( Landa ) = 0

On note ( Aij)ij = 1,2 les coefficients de la matrice A dans la base naturelle (e1,e2) de M2 et on désigne par f l'application par.

f'e1)= a11e1 + a12e2 et f(e2) = a21e1 + a22e2

NB : f est appelé application linéaire associé à la matrice A de G

b) Montrer que pour tout x appartenant à M2 - ( 0 ), ( x,f(x)) est une base de M2 puis déterminer la matrice A de cette base.

3) On désigne par D la matrice de A dans la base (x,f(x)). Montrer que P(D)=O

4) Montrer que, pour tout E appartenant à G, il existe une matrice N inversible ( N appartenant à M2 ) telle que E = NDN-1

5) Question subsidiaire pour mon information personnelle, est ce que cet exercice fait partie du programme de maths sup ou non ?

Merci pour votre aide.