Puissance d'une matrice

[starplus]

bonjour, a tous!!!

soit la matrice :

A= 2 0
3 2

on cherche A^n...

le polynome caracterisque de A est :

P(X) = (X-2)²

soit la formule :

X^n = PQn + Rn

on prend X=2

donc on a 2^n = Rn

ensuite on sais que A^n = Rn(A)

maintenant qu'est ce qu'on fait!

comment avoir la matrice Rn(A)!!!

merci de votre aide

[tize]

Bonjour,
(*) avec car

en dérivant (*) : car 2 est racine double de P...
or .
Il n'y a plus qu'à trouver et en déduire , je te laisse faire...

[ThSQ]

Enfin ici la matrice a une forme très particulière

A = 2*I + 3*J avec J² = 0
par réc. ou par Mr binome

[tize]

Oui effectivement, c'est bien mieux comme ça :we: mais je n'ai fait que suivre la méthode qui a surement été imposée à starplus...mais merci pour ce complément pertinent.

[starplus]

ok!
donc sa fait!

Rn(X) = anX + bn = 2^n

donc en derivant on a :

an = n2^(n-1)

pour avoir bn on calcule :

X*n2^(n-1) +bn = 2^n

d'où bn = (1-n)*2^n

ce qui nous donne Rn(X) = X*n2^(n-1) + (1-n)*2^n

on sais que A^n = Rn(A)

donc A^n = anX + bn

aprés calcule on a A^n =

2^n 0
3n2^(n-1) 2^n

merci a tous!!!


Mais ThSQ je n'ai pas compris ta remarque!
y a t-il d'autre methode pour le calcule de A^n?????

[ThSQ]

y a t-il d'autre methode pour le calcule de A^n?????

Je dirais même plus, d'autres méthodes.
Dont une sans un seul calcule

[starplus]

ARRET!!! :doh:

sans calcule!!! d'une matrice A tu passe a A^n???

desole mais j'y crois pas trop!!!

ahh si je sais! soit un ordinateur te la calcule soit une personne te le fais!!!

[ThSQ]

Je suis bien incapable de calculer la puissance d'une matrice 2x2 quelconque sans calcul. Ici c'est le fait que la matrice a une forme très particulière qui m'a permis de la faire "de tête".

[starplus]

salut à tous!!!!

est ce que cette methode fonctionne que pour des matrices particuliere?

parce que j'ai essaye de la faire avec cette matrice la mais je n'y arrive pas :

2 5
6 1

MERCI pour vos explication!!!