Mesure aleatoire de poisson

[statquant]

Bonjour, j'ai une question que je considère comme difficile, quelqu'un saurait il faire
Soit [TEX]M[\TEX] une mesure aléatoire de Poisson sur [TEX]\mathbb{N}^* = \{1,\dots\}[\TEX], ayant pour intensité la mesure de comptage.

Question 1:
Montrez que ps cette mesure possède une infinité d'atomes qu'on numérotera
[TEX]\xi_0,\xi_1,\dots[\TEX]

Pour moi :
[TEX]\mathbb{P}(M \mathrm{\ possède\ une\ infinité\ d\' \ atomes}) = \limsup\{M(\{n\})\neq 0\}[\TEX]
Or en regardant [TEX]\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\mathbb{P}(M(\{n\})\neq 0) = \sum_{n=0}^{\infty} 1 - \mathbb{P} (M(\{n\} = 0) = \infty[\TEX] car [TEX]M(\{n\})[\TEX] suit une loi de Poisson de paramètre 1.

De ce fait par Borel Cantelli [TEX]\{\omega : M(\{n\})\neq 0 \}[\TEX] arrive infiniment souvent et on a ce qu'on voulait.

2ème question : je sèche
Montrer que [TEX]\xi_0,\xi_1,\dots$[\TEX]est une marche aléatoire, c'est à dire que les accroissements sont iid

Je pleure j'ai exam Jeudi ...

[legeniedesalpages]

salut, il faut fermer les balises avec [/tex] pour que ce soit plus lisible.