Bonjour,
Je bute sur un exercice sur la lois de poisson.
soit X une variable aléatoire suivant la loi de poisson de paramètre lambda>0
on considère la variable Y=4 [X/2]-2X+1, [X/2]- designant la partie entière de X/2
determiner la loi de Y.
J'ai du mal avec le changement de variable pour passer de X à Y alors si quelqu'un pouvait m'aider!
merci d'avance.
Probabilité loi de poisson
20 messages
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par alavacommejetepousse » 27 Mar 2010, 16:04
bonjour
si X a une valeur paire de la forme 2k
Y vaudra 1
si X vaut 2k+1 Y vaudra -1
donc {Y= 1} = { X prend une valeur paire }
et {Y=-1} = { X impaire}
si X a une valeur paire de la forme 2k
Y vaudra 1
si X vaut 2k+1 Y vaudra -1
donc {Y= 1} = { X prend une valeur paire }
et {Y=-1} = { X impaire}
par qlampain » 27 Mar 2010, 16:19
merci beaucoup pour cette aide!
Mais comment pourrait on écrire ça "mathématiquement"?
Je tente:
P(X=2k)=P(Y=1)=e^(-lambda)*lambda
P(X=2k+1)=P(Y=-1) mais là il y a un problème avec la factorielle de -1...
j'essaie de faire cela car après je dois calculer l'esperance ainsi que la variance de la variable Y.
Mais comment pourrait on écrire ça "mathématiquement"?
Je tente:
P(X=2k)=P(Y=1)=e^(-lambda)*lambda
P(X=2k+1)=P(Y=-1) mais là il y a un problème avec la factorielle de -1...
j'essaie de faire cela car après je dois calculer l'esperance ainsi que la variance de la variable Y.
par girdav » 27 Mar 2010, 16:28
Salut,
avec une écriture plus mathématique on a =P\(\bigcup_{k\in \mathbb N}\{X=2k\}\))
et  =P\(\bigcup_{k\in \mathbb N}\{X=2k+1\}\))
.
Comme les unions en question sont disjointes,... Je te laisse continuer.
avec une écriture plus mathématique on a
Comme les unions en question sont disjointes,... Je te laisse continuer.
par qlampain » 27 Mar 2010, 21:03
merci pour l'écriture mathématique.
Mais pour calculer P(Y=1) et P(Y=-1), il faut bien remplacer le k par 1 et -1 dans l'expression de la loi de poisson,non? Car si oui il y a un problème avec la definition de factorielle -1...
Mais pour calculer P(Y=1) et P(Y=-1), il faut bien remplacer le k par 1 et -1 dans l'expression de la loi de poisson,non? Car si oui il y a un problème avec la definition de factorielle -1...
par girdav » 27 Mar 2010, 21:11
Non, il faut calculer la probabilité de la réunion indiquée.
Que vaut par exemple)
?
Que vaut par exemple
par qlampain » 27 Mar 2010, 21:19
P(2k)=e^-lambda* lambda^2k/(2k)!
et donc pour calculer P(Y=1) je dois calculer la somme de k=1 à n des p(2k)
et donc pour calculer P(Y=1) je dois calculer la somme de k=1 à n des p(2k)
par alavacommejetepousse » 27 Mar 2010, 22:32
et surtout elle finit à +infini...
utilise donc exp(-x) aussi
utilise donc exp(-x) aussi
par qlampain » 28 Mar 2010, 10:35
merci de vos réponses.
Donc en gros ma somme commence à 0 et va jusqu'à + l'infini.
Mais pourquoi devrais je mettre x à la place de lambda?
Car la lois de poisson est de paramètre lambda et non x, ça change rien mais c'est une convention.
Donc en gros ma somme commence à 0 et va jusqu'à + l'infini.
Mais pourquoi devrais je mettre x à la place de lambda?
Car la lois de poisson est de paramètre lambda et non x, ça change rien mais c'est une convention.
par girdav » 28 Mar 2010, 11:36
Ce qu'il voulais dire c'est de penser à la fonction qui à 
associe 
puisque la somme que tu dois calculer fait intervenir cette fonction.
par qlampain » 28 Mar 2010, 13:44
ok merci girdav!
là je suis en train d'essayer de calculer la somme de 0 à l'inifni de e^-lambda* lambda^2k/(2k)!
et on sait que e^x= somme de 0 à l'infini de x^n/n!
Le problème c'est qu'ici l'indice de sommation est k et l'exposant ainsi que la factorielle sont en 2k donc je sais pas bien comment faire.
edit: j'ai trouvé comment faire.
J'ai dit que e^-x= somme de 0 à l'infini de (-1)^k x^k/k!
j'ai additionner e^-x + e^x = 2 fois la somme que je recherche
et donc cette somme = ch x
donc P(Y=1)= ch lambda* e^-lambda.
si quelqu'un pouvait confirmer ce que je raconte.
là je suis en train d'essayer de calculer la somme de 0 à l'inifni de e^-lambda* lambda^2k/(2k)!
et on sait que e^x= somme de 0 à l'infini de x^n/n!
Le problème c'est qu'ici l'indice de sommation est k et l'exposant ainsi que la factorielle sont en 2k donc je sais pas bien comment faire.
edit: j'ai trouvé comment faire.
J'ai dit que e^-x= somme de 0 à l'infini de (-1)^k x^k/k!
j'ai additionner e^-x + e^x = 2 fois la somme que je recherche
et donc cette somme = ch x
donc P(Y=1)= ch lambda* e^-lambda.
si quelqu'un pouvait confirmer ce que je raconte.
par qlampain » 28 Mar 2010, 14:44
par deduction je dirais que P(Y=-1)=e^-lambda*sh lambda
J'aurais encore besoin de votre aide pour un nouvel exercice, je sais que je vous en demande beaucoup mais votre forum me permet de bien progresser!
Une tortue se déplace sur le cadre ci dessous au hasard, elle fait des pas de longueur 1 partant d'un sommet, il y a une probabilité égale qu'elle atteigne chacun des sommets voisins.
Au départ elle est en 0.
Soit T la variable aléatoire definie par:
T prend des valeur dans {1,2,...n} union {+°°}
{T=k} equivaut à [la tortue revient en 0 pour la 1e fois après k pas]
{T=+°°} equivaut à [la tortue ne revient pas en 0]
je dois calculer:
la probabilité T=2k+1 pour k > ou égal à 0
la probabilité T=2k pour k> ou égal à 1
montrer que T< +°° presque sur.
Je ne sais pas du tout comment débuter pour répondre à la première question, la deuxième doit être assez similaire à la première.
Si quelqu'un pouvait m'aider à débuter ce problème :we:
J'aurais encore besoin de votre aide pour un nouvel exercice, je sais que je vous en demande beaucoup mais votre forum me permet de bien progresser!
Une tortue se déplace sur le cadre ci dessous au hasard, elle fait des pas de longueur 1 partant d'un sommet, il y a une probabilité égale qu'elle atteigne chacun des sommets voisins.
Au départ elle est en 0.
Soit T la variable aléatoire definie par:
T prend des valeur dans {1,2,...n} union {+°°}
{T=k} equivaut à [la tortue revient en 0 pour la 1e fois après k pas]
{T=+°°} equivaut à [la tortue ne revient pas en 0]
je dois calculer:
la probabilité T=2k+1 pour k > ou égal à 0
la probabilité T=2k pour k> ou égal à 1
montrer que T< +°° presque sur.
Je ne sais pas du tout comment débuter pour répondre à la première question, la deuxième doit être assez similaire à la première.
Si quelqu'un pouvait m'aider à débuter ce problème :we:
par Ben314 » 28 Mar 2010, 16:07
Salut,
La première question est "gentille tout plein" et, à mon avis, elle est là pour un peu simplifier les calculs des autres questions.
Si tu décrète que le centre et les quatres cotés du carrés sont des "points noirs" et que les milieux des quatres arêtes sont des "points blancs", que peut tu dire des points d'arrivé possible lorsque l'on part d'un point noir ? et lorsque l'on part d'un point blanc ?
Est-il possible de faire un chemin circulaire (i.e. point d'arrivé=point de départ) contenant un nombre impair de déplacement ?
Pour la 2) je pense qu'il faut attaquer des (petits) calculs...
Vu la question 1), tu sait qu'aprés un nombre pair de mouvements, la tortue ne peut être située qu'en certain points du quadrillage.
Ensuite, regarde la proba qu'elle ne soit toujours pas en O à l'étape 2k+2 sachant qu'elle n'y était pas à l'étape 2k...
Tu devrait en déduire assez facilement la proba(T=2k) par récurrence...
La première question est "gentille tout plein" et, à mon avis, elle est là pour un peu simplifier les calculs des autres questions.
Si tu décrète que le centre et les quatres cotés du carrés sont des "points noirs" et que les milieux des quatres arêtes sont des "points blancs", que peut tu dire des points d'arrivé possible lorsque l'on part d'un point noir ? et lorsque l'on part d'un point blanc ?
Est-il possible de faire un chemin circulaire (i.e. point d'arrivé=point de départ) contenant un nombre impair de déplacement ?
Pour la 2) je pense qu'il faut attaquer des (petits) calculs...
Vu la question 1), tu sait qu'aprés un nombre pair de mouvements, la tortue ne peut être située qu'en certain points du quadrillage.
Ensuite, regarde la proba qu'elle ne soit toujours pas en O à l'étape 2k+2 sachant qu'elle n'y était pas à l'étape 2k...
Tu devrait en déduire assez facilement la proba(T=2k) par récurrence...
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par qlampain » 28 Mar 2010, 20:34
Ben314 a écrit:Salut,
La première question est "gentille tout plein" et, à mon avis, elle est là pour un peu simplifier les calculs des autres questions.
Si tu décrète que le centre et les quatres cotés du carrés sont des "points noirs" et que les milieux des quatres arêtes sont des "points blancs", que peut tu dire des points d'arrivé possible lorsque l'on part d'un point noir ? et lorsque l'on part d'un point blanc ?
Est-il possible de faire un chemin circulaire (i.e. point d'arrivé=point de départ) contenant un nombre impair de déplacement ?
Pour la 2) je pense qu'il faut attaquer des (petits) calculs...
Vu la question 1), tu sait qu'aprés un nombre pair de mouvements, la tortue ne peut être située qu'en certain points du quadrillage.
Ensuite, regarde la proba qu'elle ne soit toujours pas en O à l'étape 2k+2 sachant qu'elle n'y était pas à l'étape 2k...
Tu devrait en déduire assez facilement la proba(T=2k) par récurrence...
merci pour ton aide!
Pour la reponse à est il possible de faire un chemin circulaire avec un nombre impaire de deplacements, je dirais non.
et pour les points d'arrivé d'un point noir et blanc je vois pas bien ou tu veux en venir, car pour moi les points noirs et blancs peuvent arriver sur un point blanc ou noir
par Ben314 » 28 Mar 2010, 21:02
De O (point noir) tu ne peut aller que sur des Ai (points blancs)
D'un Bi (point noir) tu ne peut aller que sur des Aj (points blancs)
D'un Ai (point blanc) tu ne peut aller que sur un Bj ou sur O (points noirs)
Donc, partant de O (noir),
Si tu fait un nombre impair de mouvement tu est sur un "point blanc" donc sur un des Ai
Si tu fait un nombre pair de mouvement tu est sur un "point noir" donc sur O ou sur l'un des Bi
D'un Bi (point noir) tu ne peut aller que sur des Aj (points blancs)
D'un Ai (point blanc) tu ne peut aller que sur un Bj ou sur O (points noirs)
Donc, partant de O (noir),
Si tu fait un nombre impair de mouvement tu est sur un "point blanc" donc sur un des Ai
Si tu fait un nombre pair de mouvement tu est sur un "point noir" donc sur O ou sur l'un des Bi
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par qlampain » 28 Mar 2010, 21:12
Merci pour cette explication,
donc si j'ai bien compris, P(T=2k+1)=0 et P(T=2k)=1, est ce que je me trompe?
donc si j'ai bien compris, P(T=2k+1)=0 et P(T=2k)=1, est ce que je me trompe?
par Ben314 » 28 Mar 2010, 22:00
Ben, tel que tu l'écrit, c'est un peu n'importe quoi...
p(T=2k+1)=0 : là, c'est parfaitement O.K.
Mais p(T=2k)=1 : là, surement pas : c'est la SOMME pour k>=1 de tout les
p(T=2k) qui vaut 1.
Par contre, pour que tu vérifie la suite, je peut te dire que P(T=2)=1/3, et que p(T=4)=2/9.
p(T=2k+1)=0 : là, c'est parfaitement O.K.
Mais p(T=2k)=1 : là, surement pas : c'est la SOMME pour k>=1 de tout les
p(T=2k) qui vaut 1.
Par contre, pour que tu vérifie la suite, je peut te dire que P(T=2)=1/3, et que p(T=4)=2/9.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par alavacommejetepousse » 29 Mar 2010, 04:27
bonjour
Ei :"pas en O à la date i"
Si le contraire
{T= 2k} = E1......E(2k-1)S(2k)
où ... désigne l intersection
puis proba composées
puis chaque proba conditionnelle vaut 1 ou 2/3 selon la parité sauf la dernière
Ei :"pas en O à la date i"
Si le contraire
{T= 2k} = E1......E(2k-1)S(2k)
où ... désigne l intersection
puis proba composées
puis chaque proba conditionnelle vaut 1 ou 2/3 selon la parité sauf la dernière
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