DM sur les suites ...

[Saana62]

Bonjour à tous

Voilà, j'aimerais avoir un peu d'aide pour 2 petits exos sur les suites. J'ai beaucoup de mal avec ce chapitre et j'y suis depuis 2 jours et je n'arrive pas à les résoudre :marteau: (je suis en 1ere STG)

Exercice 1


Soit la suite (Un) définie par :

{U0 = -1
{pour tout n appartient N, Un+1 = Un + (n+1)

1/ Calculer ses 5 premiers termes.

*La suite (Un) est elle arithmétique ?

2/ On définit la suite (Vn) sur N par : Vn = Un+1 – Un.

*Calculer V0, V1, V2, V3.
*Montrer que (Vn) est une suite arithmétique.
*Exprimer V0 + V1 + ... + Vn-1 en fonction de n .

3/ *Montrer que V0 + V1 + ... + Vn-1 = Un – U0.
*En déduire l'expression de Un en fonction de n .


Exercice 2


Albert vient de planter des arbustes, tous les mètres, le long d'une clôture de 100m. Il doit maintenant les arroser. Il décide de verser à chacun un arrosoir complet qu'il remplit au robinet qui est au bout de la haie.

1/ Il est au robinet, il remplit son arrosoir qu'il vide directement au pied du premier arbuste.
Il remplit à nouveau son arrosoir et marche 1m jusqu'au 2ème arbuste.Il vide alors son arrosoir et revient au robinet.

Rédiger 2 courts paragraphes comme les 2 ci-dessus indiquant ce qu'il fait pour les 2 arbres suivants.

( > Moi j'ai pensé mettre : - Il est au robinet, il remplit son arrosoir et marche 2m jusqu'au 3ème arbuste. Il vide alors son arrosoir et revient au robinet. - Il est au robinet, il remplit son arrosoir et marche 3m jusqu'au 4ème arbuste. Il vide alors son arrosoir et revient au robinet. » ?? )

2/ Indiquer la longueur totale de son déplacement quand il aura fini d'arroser tous les arbres.
(> J'ai pensé 100m = 101 arbres donc il faut une formule utilisant Un+1 = ? )

3/ Quelle distance aurait-il parcourue s'il avait eu 2 arrosoirs de la même capacité ?

(> Moi j'aurais dit la distance totale avec 1 arrosoir divisée par 2 ? )

Merci d'avance

Saana

[fonfon]

salut,

Exercice 1

Soit la suite (Un) définie par :

{U0 = -1
{pour tout n appartient N, Un+1 = Un + (n+1)

1/ Calculer ses 5 premiers termes.

*La suite (Un) est elle arithmétique ?

2/ On définit la suite (Vn) sur N par : Vn = Un+1 – Un.

*Calculer V0, V1, V2, V3.
*Montrer que (Vn) est une suite arithmétique.
*Exprimer V0 + V1 + ... + Vn-1 en fonction de n .

3/ *Montrer que V0 + V1 + ... + Vn-1 = Un – U0.
*En déduire l'expression de Un en fonction de n .

commençons par celui-là où bloques-tu?

[Saana62]

Euh bah ecoute j'ai fais ça moi sur un brouillon mais bon je ne suis pas du tout sure!



Exo 1 :

Uo = -1

On sait que Un+1 = Un + (n+1)

U1 = U0+1 = U0 + (0+1)
U1 = -1 + 1 = 0

U2 = U1+1 = u1 + (1+1)
U2 = 0 + 2 = 2

U3 = U2 + 1 = U2 + (2+1)
U3= 2 +3 = 5

U4 = U3 + 1 = U3 + (3+1)
U4 = 5 + 4 = 9

La suite n'est pas arithmétique car :

U1 - U0 = 1
U2 - U1 = 2 - 0 = 2

Est-ce que c'est bon ?

[fonfon]

oui, c'est bon tu peux poursuivre

[Saana62]

D'accord merci

Pour le petit 2, j'ai mis

Vn = Un+1 - Un

Un = Un + (n+1) - Un
Vn = n+1

V0 = 1
V1 = 2
V2 = 3
V3 = 4

Vn = V0 + 1 x n

mais je suis pas sure du tout

Par contre pour ceci

*Montrer que V0 + V1 + ... + Vn-1 = Un – U0.
*En déduire l'expression de Un en fonction de n .

Je n'ai pas d'idée

[fonfon]

re,

ok pour les calculs de V0,V1..

pour montrer qu'elle est arithmetique

tu calcules V(n+1)-V(n)=(n+1)+1-n-1=n+2-n-1=1 qui est indepandent de n donc elle est bien arithmetique de raison 1 et de 1er terme 1 donc Vn=1+n*1

*Exprimer V0 + V1 + ... + Vn-1 en fonction de n .

c'est la somme des n 1er termes d'une suite arithmetique de raison 1 et de 1er terme 1 donc

S=(nb de terme)*(1er terme +dernier terme)/2

ça t'aide ou pas?

[Saana62]

Oui la formule je l'a connait, mais je ne sais pas comment on fait pour l'utiliser dans la question :s

[fonfon]

ici,on commence à Vo et on termine à V(n-1) il y a donc n termes, le 1er terme c'est V0=1 et le dernier terme c'est V(n-1)=n

donc V0+V1+...+V(n-1)=n(1+n)/2

(remarque c'est la formule pour calculer la somme des n 1ers entiers consecutifs )

ok ou pas?

[Saana62]

ok et pour la derniére question ?

[fonfon]

3/ *Montrer que V0 + V1 + ... + Vn-1 = Un – U0.
*En déduire l'expression de Un en fonction de n .

tu sais que Vn=U(n+1)-Un

donc

V0=U1-U0
V1=U2-U1
V2=U3-U2
... (si on continue jusque V(n-1))
V(n-1)=Un-U(n-1)

maintenant si on adittionne V0+V1+..+V(n-1) tu vois qu'il y a des termes qui s'annulent et qu'il reste à la fin du compte Un-U0 donc
V0+V1+..+V(n-1)=Un-U0

*En déduire l'expression de Un en fonction de n

ben tu as calculer V0+V1+..+Vn=n(1+n)/2 et tu sais que:
V0+..+V(n-1)=Un-U_0 donc Un=V0+..+V(n-1)+U0 or U0=-1 donc
Un=n(1+n)/2-1

ok?

[Saana62]

Ah d'accord, j'y vois plus clair, merci beaucoup !!

Bon l'exo 2 maintenant

1) Il est au robinet, il remplit son arrosoir et marche 2m jusqu'au 3ème arbuste. Il vide alors son arrosoir et revient au robinet. - Il est au robinet, il remplit son arrosoir et marche 3m jusqu'au 4ème arbuste. Il vide alors son arrosoir et revient au robinet.

2) Pour ondiquer la longueur totale de son déplacement quand il aura fini d'arroser tous les arbustes.

1+2+...+n(n+1)/2 ?

[fonfon]

Exercice 2


Albert vient de planter des arbustes, tous les mètres, le long d'une clôture de 100m. Il doit maintenant les arroser. Il décide de verser à chacun un arrosoir complet qu'il remplit au robinet qui est au bout de la haie.

1/ Il est au robinet, il remplit son arrosoir qu'il vide directement au pied du premier arbuste.
Il remplit à nouveau son arrosoir et marche 1m jusqu'au 2ème arbuste.Il vide alors son arrosoir et revient au robinet.

Rédiger 2 courts paragraphes comme les 2 ci-dessus indiquant ce qu'il fait pour les 2 arbres suivants.

( > Moi j'ai pensé mettre : - Il est au robinet, il remplit son arrosoir et marche 2m jusqu'au 3ème arbuste. Il vide alors son arrosoir et revient au robinet. - Il est au robinet, il remplit son arrosoir et marche 3m jusqu'au 4ème arbuste. Il vide alors son arrosoir et revient au robinet. » ?? )

2/ Indiquer la longueur totale de son déplacement quand il aura fini d'arroser tous les arbres.
(> J'ai pensé 100m = 101 arbres donc il faut une formule utilisant Un+1 = ? )

3/ Quelle distance aurait-il parcourue s'il avait eu 2 arrosoirs de la même capacité ?

(> Moi j'aurais dit la distance totale avec 1 arrosoir divisée par 2 ? )

la 1) c'est correct

pour la 2)

pour arroser son 1er arbre et revenir remplir son arrosoir U1=0 m
pour arroser son 2e arbre et revenir remplir son arrosoir U2=2 m
et ainsi de suite donc on ajoute 2m à chaque fois c'est la distance pour faire l'aller et le retour du dernier arbusteet le suivant) donc on a une suite arithmetique de raison 2 et de 1er terme U1=0 soit Un=U1+(n-1)*2 donc pour le dernier arbre U100=U1+(100-1)*2=198 m

donc au total 100*(u1+u100)/2=100*(0+198)/2=9900 m

sauf erreur

je te laisse la derniere question, je dirai qu'il parcour plus de distance et même 19800 m reflechi un peu

[Ali_zee]

SVP quelqu'un peut-il m'aider pour le même exercice mais juste la dernière question !!