A propos de racine de 2

[beck23]

Bonjour j'ai un problème pour une question si vous pouviez m'aidez s'il vous plait je ne sais pas du tout comment faire, je n'y arrive pas à faire le raisonnement par récurrence. Voici l'énoncé, s'il vous plait aidez moi





merci d'avance

[thomasg]

Initialisation de la récurrence:
pour n=1 u1=1+2^0,5 donc a1=1 et b1=1

on suppose la propriété vraie au rang n, càd qu'il existe an et bn tels que
un=an+bn*2^0,5.

un+1=(1+2^0,5)^(n+1)=(1+2^0,5)(1+2^0,5)^n=(1+2^0,5)un
donc un+1=(1+2^0,5)(an+bn*2^0,5)
en développant:
un+1=an+bn*2^0,5+an*2^0,5+bn*2
un+1=(an+2bn)+(an+bn)*2^0,5

ce qui achève la récurrence,
an+1=an+2bn
bn+1=an+bn

En espérant ne pas avoir fait trop d'erreurs de calcul.

A bientôt.

[raito123]

Tu as remplacer an et bn dans la premiére partie et non dans la deuxiéme tu dois le faire pour les deux partie (ligne 6)

[beck23]

merci merci beaucoup

[raito123]

moi j'ai trouver an+1=an et bn+1=an+bn+anbn

[beck23]

comment as tu fait raito123??? j'ai peur de mettre trompé

[beck23]

bonjour,

alors raito123?

j'ai une autre petite question désolé mais s'il vous plait aidez moi

il faut déduire de ce raisonnement par récurrence l'expression de a_n et b_n en fonction de a_(n-1) et b_(n-1), et montrer que a_n et b_n sont premiers entre eux

s'il vous plait je n'y arrive vraiment pas

merci beaucoup d'avance pour votre aide

[raito123]

Post ce que tu as fait et en verra tout les deux!!

[beck23]

pour n=1 (1+V2)^1=1+V2 donc a_1=1 et b_1=1 (a_1=a indice 1)
on admet que (1+V2)^p =a_p+b_p V2 où a_p et b_p sont des entiers

(1+V2)^p+1=(1+V2)^p (1+V2)
en developpant et en utilisant le fait que (1+v2)^p=a_p+b_pV2
je montre que Un+1=a_n+1 +b_n+1 V2

sauf erreur, a_n+1=a_n+2b_n
b_n+1=a_n+b_n

[raito123]

donc tu as trouver la même chose thomasg.
Je refais mes calculs!

[raito123]

Okey jusque là ça va!!

[thomasg]

moi j'ai trouver an+1=an et bn+1=an+bn+anbn

a1=1

(1+V2)^2=1+2V2+2=3+2V2 donc a2=3

donc ta proposition an+1=an est fausse.


Pour la question: prouver que an et bn premiers entre eux.

Vrai aux rang 1, PGCD(1;1)=1

supposons la propriété vrai eau rang n.

on a déja vu que:
an+1=an+2bn
bn+1=an+bn

procédons à un raisonnement par l'absurde:
supposons qu'il existe k>1 tel que k divise an+1 et bn+1
alors il existe un réel c tel que kc=an+bn
donc an+2bn=kc+bn
or il existe d tel que kd=an+2bn
donc kd=kc+bn donc k divise bn, il existe e tel que ke=bn
or on a déjà vu que kc=an+bn, donc kc=an+ke, donc k divise an et bn.

Ce qui contredit l'hypothèse de récurrence.
Il n'existe donc pas un tel k.

Donc an+1 et bn+1 sont premiers entre eux.

A bientôt.

[beck23]

Bonsoir

comment fait on a partir de ce que vous dites thomas l'expression de an et bn en fonction de an+1 et bn+1???

merci d'avance

[thomasg]

Bonsoir

comment fait on a partir de ce que vous dites thomas l'expression de an et bn en fonction de an-1 et bn-1???

merci d'avance

Une petite erreur dans ton post.

on a:
an+1=an+2bn
bn+1=an+bn

donc

an=(an-1)+2(bn-1)
bn=(an-1)+(bn-1) (petit changement de variable)

A bientôt.

[beck23]

ah oui désolé. En tout cas merci beaucoup de m'avoir expliqué.

A bientot