Suites de cauchy

[roper]

bonjour
voila plusieurs questions en vrac:
serait il possible d'avoir l'exemple d'une suite de cauchy

comment un espace peut etre ferme et non borne

un exemple d'une suite de cauchy qui ne converge pas en dim infinie

[kazeriahm]

Salut

toute suite convergente est de Cauchy donc par exemple Un=1/n est de Cauchy dans R

pour un espace fermé non borné : toujours dans R, ]-l'infini,0] est fermé (son complémentaire dans R est ouvert) mais non borné

[kazeriahm]

pour une suite de Cauchy non convergente, on peut se placer dans Q (mais qu'on ne considère pas comme un ev de dim infinie) et définir la suite de rationnels

, qui converge vers e et est donc de Cauchy. Or e n'est pas dans Q donc Un ne converge pas "dans Q" bien que de Cauchy.

[busard_des_roseaux]

un exemple d'une suite de cauchy qui ne converge pas en dim infinie

Le cadre naturel des suites de Cauchy sont les espaces vectoriels métriques.
(muni d'une distance).
Il y a trois souçis:

a) La notion de suites de Cauchy n'est pas une notion topologique. Il est possible de trouver un espace topologique X, muni de deux distances d1 et d2 équivalentes, qui définissent la même topologie (les même ensembles ouverts), et qui n'ont pas les mêmes suites de Cauchy.Pour la distance d1, l'espace peut être complet et pas pour la distance d2.

b) la distance, dans un e.v, peut ne pas provenir d'une norme.

c) même si l'e.v est normé, le corps de base K peût ne pas être complet.

(ex: ) . Le problème existe donc déja en dimension 1.

L'exemple le plus célèbre d'e.v non complet est l'ensemble des fonctions continues sur [a;b] muni de la norme L1.