Fonction exponentielle

[liloo91]

J'ai un exercice à faire je m'y suis penché très longtemps je l'ai tourné dans tout les sens mais je comprends vraiment toujours que dalle!!!

Soit f la fonction définie sur R par f(x)=e^(-x2/2)
soit f^(k), k e N, la dérivée kième de f, on pose f^(0)=f.

1) Montrer que pour tout réel x, f^(k) (x)= Hk(x)e^(-x2/2) ou Hk est un polynôme de degré k de même parié que k vérifiant la relation de récurrence:
pour tout reel x: Hk+1(x)= H'k(x)-xHk(x).
Les polynômes Hk portent le nom de polynôme de Hermite.

2) Montrer par recurrence que pour tout n dans N:
H"n(x)-xHn'(x)+nHn(x)=0

Si vous avez des soucis avec l'écriture de l'exercice dites le moi ^^
J'ai vraiment rien de chez rien compris... help meeeee lol

[Antho07]

la dérivée k ième de f c'est la fonction qu'on obtient en dérivant k fois f



on a

Il faut montrer que



avec Hk(x) un polynome de parité de k.
Autrement si k est paire alors la fonction polynomiale Hk(x) est paire.
et si k est impaire alors la fonction polynomiale Hk(x) est impaire.

On montre le résulat par récurrence sur la propriété P(k)="

avec Hk(x) un polynome de parité de k."

Initialisation: k=0

alors avec Ho(x)=1 paire comme 0.

DOnc P(0) est vrai.

On suppose le résultat vrai à un certain rang k entier. Montrons alors que la propriété est vrai au rang k+1

par hypothese de récurrence.

Dérivons:



Avec qui est bien un polynome, reste à vérifier sa paraité.

On suppose k paire Hk(x) est paire donc (Hk)'(x) est impaire et xHk(x) est impaire donc (Hk)'(x)-xHk(x) est impaire donc Hk+1(x) est impaire comme k+1.

De meme si k est impaire alors Hk+1(x) est paire comme k +1.

La propriété est vrai au rang k+1 donc pour tout entier.